si localmente Lipschitz implica Lipschitz en los pactos.

Question

Necesidad de demostrar:

Deje $A$ ser abierta en $\mathbb{R}^m$; deje $g:A \longrightarrow \mathbb{R}^n$ una función localmente Lipschitz. Mostrar que si $C$ es un subconjunto compacto de $A$, $g$ satisface la condición de Lipschitz en $C$.

Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Sugerencia: $C$ ser compacto significa para cualquier apertura de la tapa tiene un número finito de subcover. Deje $x\in C$ y deje $U_x$ ser el correspondiente conjunto abierto en el que $g:U_x\to\mathbb{R}^n$ es de Lipschitz. Esto significa que $C$ puede ser cubierto por un número finito de la $U_x$. Por último, utilice el hecho de que el entre un conjunto finito de números positivos que usted puede elegir un máximo de uno.

Answer 2

Maximizar la función continua $f(x,y)=\frac{|g(x)-g(y)|}{|x-y|}$ sobre el conjunto compacto $C\times C\cap\{|x-y| \geq \varepsilon\}$ con un nivel suficientemente pequeño $\varepsilon>0$. Localmente Lipschitz la condición se utiliza para mostrar que el $f$ está delimitado en $C\times C\cap\{|x-y|<\varepsilon\}$.