Me pregunto si hay algunos estudios sobre el número de reveses de la dirección para volver al punto de partida de la caminata aleatoria (simétricas o asimétricas), por ejemplo, su distribución y la expectativa etc..
Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
goric
Puntos
5230
Para la caminata aleatoria simétrica con $X_0=0$ y condicionado a $X_{2n}=0$, el promedio de número de inversiones debe ser $n$. Cada resultado es un ordenamiento al azar de $n$ signos más y $n$ menos señales. Una inversión se lleva a cabo en cualquiera de las $2n-1$ puntos de tiempo de$1$$2n-1$, cuando la vecina signos son opuestos. Dada la señal de un vecino, la probabilidad de que el otro vecino tiene un signo contrario es ${n\over 2n-1}$. La adición de hasta más de los puntos en el tiempo, muestra que en promedio el número de cambios de signo es $n$.
La pregunta original, sin embargo, es sobre el promedio de número de inversiones hasta el primer retorno $T$ a la de origen. El argumento anterior se puede modificar para mostrar que, para $n>1$, $$E(\mbox{reversals}\ |\ T=2n) = n - 1 = T/2-1,$ $ , de modo que el número esperado de cambios es infinito.
En el simétrica caso, se supone que las $X_0=0$ y $X_n=Y_1+\cdots+Y_n$ $n\ge1$ donde $(Y_n)_{n\ge1}$ es yo.yo.d. Bernoulli y centrado. Para $n\ge1$, vamos a $R_n$ denotar el número de inversiones de $(X_k)_{0\le k\le n}$. A continuación, $R_1=0$ $R_n=U_2+\cdots+U_n$ donde $U_k=[Y_kY_{k-1}=-1]$.
La esperanza condicional de $R_{n+1}$ con respecto al $\sigma$-álgebra $F_n=\sigma(X_k;0\le k\le n)$$R_n+P(Y_nY_{n+1}=-1|F_n)=R_n+\frac12$, por lo tanto $M_n=2R_n-n$ define una martingala $(M_n)_{n\ge1}$ a partir de $M_1=-1$.
En particular, para cada uniformemente integrable detener el tiempo, tal como la primera golpear tiempo $T_h$ del conjunto de $\{0,h\}$ $h\ge1$ por $(X_n)_n$, $E(M_{T_h})=-1$, por lo tanto $$ 2E(R_{T_h})=E(T_h)-1. $$ Cuando $h\to+\infty$, $T_h$ converge para el primer tiempo de retorno de $T$ $0$ $T$no es integrable por lo tanto $R_T$ no es integrable.
En el caso asimétrica, asumir que $P(Y_n=+1)=p$ $P(Y_n=-1)=1-p$ para un determinado $p$$(0,1)$. Si $p\ne\frac12$, $(X_n)_n$ tiene una probabilidad positiva a nunca golpear $0$ nuevo, en cuyo caso el número total de anulaciones de su trayectoria es casi seguramente infinito, por lo tanto no integrable.
Una manera de salvar el día es asumir que el $p<\frac12$ (por ejemplo) y a la condición en el caso de $[X_1=1]$. Escribir $P^+$ a esta condicionada probabilidad de medir y $E^+$ por la expectativa con respecto a $P^+$. A continuación, el primer tiempo de retorno de $T$ $0$es (al fin!) integrable para $P^+$ $R_T\le T-1$ por lo tanto $R_T$ es integrable para $P^+$.
Para calcular el valor de $E^+(R_T)$, se puede imitar el argumento dado en el simétrica caso para mostrar que la fórmula $$ M_n=2R_n-n-(1-2p)X_{n-1} $$ define una martingala $(M_n)_{n\ge1}$ con respecto al $P^+$, a partir de $M_1=-1$. Desde $X_{T-1}=+1$ casi seguramente por $P^+$, esto produce $$ 2E^+(R_{T})=E^+(T)-2p, $$ y sigue para calcular $E^+(T)$. Esto se puede hacer por la costumbre de primer paso de la descomposición: en $[Y_2=-1]$, $T=2$, y en $[Y_2=+1]$, $T=T'+T''$ para los dos copias independientes de $T$. Por lo tanto $E^+(T)=2(1-p)+2E^+(T)p$, la cual se obtiene el valor de $E^+(T)$. Por último, el número medio de cambios es $$ E^+(R_T)=\frac{1-2p(1-p)}{1-2p}. $$
