Mostrando que $\mathbb Q(\sqrt{17})$ número de clase 1

Question

Deje $K=\mathbb Q(\sqrt{d})$$d=17$. El Minkowski-Bound es $\frac{1}{2}\sqrt{17}<\frac{1}{2}\frac{9}{2}=2.25<3$.
El ideal de $(2)$ se divide, desde el $d\equiv 1$ mod $8$. Así, obtenemos $(2)=(2,\frac{1+\sqrt{d}}{2})(2,\frac{1-\sqrt{d}}{2})$ $(2,\frac{1\pm\sqrt{d}}{2})$ son dos ideales de norma $2$.

Ahora si podemos demostrar que $(2,\frac{1\pm\sqrt{d}}{2})$ son los principales ideales, entonces sabemos que todos los ideales de la clase contiene un director ideal, lo que muestra que el número de clase es $1$.

Pero, ¿cómo podemos mostrar que $(2,\frac{1\pm\sqrt{d}}{2})$ son los principales?

Answer 1

Sugerencia: $$ \left(\frac{3+\sqrt{17}}2\right)\left(\frac{3-\sqrt{17}}2\right)=\frac{9-17}4=-2. $$

Answer 2

Nos muestran que $$\left\langle 2,\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right\rangle = \left\langle \frac{5+\sqrt{17}}{2}\right\rangle.$$ Desde, $$\frac{5+\sqrt{17}}{2}=2+\frac{1+\sqrt{17}}{2},$$ we have $$\frac{5+\sqrt{17}}{2}\in\left\langle 2,\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right\rangle,$$ thus $$\left\langle 2,\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right\rangle \subseteq \left\langle \frac{5+\sqrt{17}}{2}\right\rangle.$$ Ahora bien, estos dos ideales tienen la misma Norma, es decir, $2$. Por lo tanto, $$\left\langle 2,\frac{1+\sqrt{17}}{2}\right\rangle = \left\langle \frac{5+\sqrt{17}}{2}\right\rangle.$$ La prueba del principado de $\frac{5+\sqrt{17}}{2}$ es similar.