La línea Real de la singularidad ...

Question

Tengo una pregunta en el siguiente ejercicio: Deje $\langle X, &lt\rangle$ ser un orden total sin primer ni último elemento, conectados en el orden de la topología y separables.Mostrar que $\langle X,&lt\rangle$ es isomorfo a los reales,$\langle R,&lt \rangle$.

Sabemos que cada contables totalmente orden establecido que no tiene el primero o el último elemento y que es denso en sí mismo es isomorfo a los racionales. Lo que quiero hacer es extender el isomorfismo $f$ $D$ , que es el contable subconjunto denso de X, y los racionales. Para ampliar este isomorfismo he utilizado la hipótesis de que el espacio está conectado, pero no estoy seguro de si mi función extendida está bien definido :

Vamos $a \in X$, $D_{&lta}=\{d \in D: d&lta\}$ y $D_{>a}=\{d \in D: d>a\}$, ya que el $R$ está conectado $\exists r_a \in R$ $($$f(D_{&lta}) &lt r_a &lt f(D_{>a})$$)$ , por lo que la función extendida se $F(a)=r_a$.

La cosa es que no estoy seguro de si puedo usar el "conectado" hipótesis correctamente y si $F$ está bien definido. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Yo no creo que sea bien definido, sin embargo, porque usted no ha argumentado que $r_a$ es único. También, no use el hecho de que $X$ está conectado, sino el hecho de que $R$ es.

Conexión de $X$ no debería ser necesaria para definir el mapa de $F : X \to R$. (Después de todo, puede incrustar $Q$ $R$ bien).

Yo creo que la propiedad esencial de $R$ a utilizar es su integridad (es decir, el menos-de-límite superior de la propiedad). Lo que si se definen $F : X \to R$ por $$F(x) = \sup \{f(y) : y \in D, y \le x\}.$$ Esto debe estar bien definido, utilizando los hechos que $f$ es el fin de preservar y $R$ es completa. También se conserva el orden (esto utilizará la densidad de $D$) y, por tanto inyectiva, y también continuo.

Es surjectivity donde usted tendrá que usar la conexión de $X$: si $a \in R$$F^{-1}(a) = \emptyset$, entonces, ¿qué puedes decir acerca de $F^{-1}((-\infty, a))$$F^{-1}((a, \infty))$?