La prueba para demostrar que toda función que se pierde una pelota es constante

Question

Deje $f$ ser toda una función s.t $f(\mathbb{C}) \cap B_R(z_0) = \varnothing$ algunos $z_0$ y algunos $R$. A continuación, $f$ es constante.

Supongo que dado que la imagen de todo el avión no es densa, a continuación, $f$ no tiene una singularidad esencial en el infinito. Ahora tengo que excluir tiene un polar singularidad en el infinito..

Answer 1

Deje $g(z):=\frac 1{f(z)-z_0}$, $g$ está bien definido y analítica. Tenemos $|g(z)|\leq\frac 1R$ (debido a $|f(z)-z_0|\geq R$ $g$ es limitada y, por lo tanto; por el teorema de Liouville, constante. Por lo $f$ es constante.

Answer 2

Considere la posibilidad de este mapa: $$z\mapsto\frac{1}{f(z)-z_0}$$