Cómo son haces de fibras, la transición de las funciones de director y de los paquetes relacionados?

Question

Por favor, lea la edición de abajo.

Es mi entendimiento de esto correcto? Revisión suficientemente agradable y conectado espacio topológico $B$ y un grupo topológico $G$. Un director bundle $E\to B$ con estructura de grupo $G$ es (modulo de equivalencia) de la misma como una colección de la transición de las funciones de $g_{\alpha,\beta}:V_{\alpha}\cap V_{\beta}\to G$. Un haz de fibras $b:Y\to B$ con fibra de $F$ define una colección de la transición de las funciones de $g_{\alpha,\beta}:V_{\alpha}\cap V_{\beta}\to \mathrm{Aut}(F)$ pero no puede recibir el haz de fibras de vuelta de la transición de las funciones en general. Usted obtener sólo un director bundle $p:E\to B$ con estructura de grupo $G=\mathrm{Aut}(F)$ de la citada equivalencia. ¿Cómo este director paquete de apariencia (en relación con el haz de fibras se $b$) intuitivamente?

La información adicional que necesita para obtener una más general, el haz de fibras de un director bundle $p:E\to B$ con estructura de grupo $G$ es un espacio de $F$ con una acción de $G$. A continuación, se definen un haz de fibras $$ q:E\times F/\sim\a B $$ donde la relación es generado por $(x,y)\sim(xg,gy)$ y la clase de equivalencia de a $(x,y)$ es mapeados a $p(x)$. Este paquete tiene fibra $F$. La aplicación de esta construcción para el paquete de $b$ desde arriba, supongo que con la evidente acción de $G=\mathrm{Aut}(F)$ $F$ usted consigue el paquete de $q\cong b$ regreso, ¿verdad?

Si el haz de fibras se $b$ es un vector paquete (lo cual generalmente no es una entidad de paquete) uno no necesita el segundo paso: son equivalentes a sus asociados a la transición de las funciones. ¿Por qué es este (intuitivamente) cierto?

Alguien me puede ayudar a aclarar mi foto? Es muy importante cuidar de la dirección de las acciones (a la izquierda de acción de F, el derecho de acción en E)? Intuitivamente, creo que un director de paquete, de alguna manera, codificar la información global, donde el segundo de la construcción aporta un local de acción en la fibra.

Edit: Gracias a todos por la aclaración. Los siguientes son dos afirmaciones correctas?

1. Revisión de un grupo topológico $G$ y un espacio topológico $B$. ¿Significa esto que hay un isomorfismo de categorías $$ X\times Y\Z $$ donde $X$ es de la categoría de los espacios topológicos con una izquierda $G$-acción (e $G$-equivariant morfismos), $Y$ es la categoría de director de paquetes de más de $B$ con estructura de grupo $G$ modulo isomorfismo (y única identidad morfismos) y $Z$ es la categoría de los haces de fibras de más de $B$ con estructura de grupo $G$ (y morfismos $B$)?

2. Ahora fijar un espacio topológico $F$ y un espacio topológico $B$. ¿Significa esto que hay un isomorfismo de categorías $$ X'\times Y'\Z' $$ donde $X'$ es la categoría de la izquierda $\mathrm{Aut}(F)$-acciones en $F$ (e $\mathrm{Aut}(F)$-equivariant isomorphisms (?)), $Y'$ es la categoría de director de paquetes de más de $B$ con estructura de grupo $\mathrm{Aut(F)}$ modulo isomorfismo (y única identidad morfismos) y $Z'$ es la categoría de los haces de fibras de más de $B$ con fibra de $F$ (y isomorphisms $B$)?

Answer 1

Casi todo lo que dices es correcto, por lo que no es fácil para mí ver exactamente donde está su confusión mentiras.

Quizás es aquí: la estructura de una $(F,G)$ paquete incluye un espacio topológico $F$ y un topológica de la acción de un grupo topológico $G$$F$. En el caso de un director de grupo, tomamos $F = G$ y la acción (a la izquierda o derecha, dependiendo de cómo haya configurado) regular.

Una vez que tenemos la estructura de $F$ y la acción de la $G$, la transición de las funciones completamente determinar el $(F,G)$-abrigarse a la equivalencia. La existencia es manejado a través de un cociente de la construcción, como se ha indicado anteriormente.

En el caso de (decir) vector de paquetes, usted todavía necesita la estructura de grupo $\operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. Esto actúa de forma natural por homeomorphisms en $\mathbb{R}^n$, pero no es la totalidad de la auto-homeomorphism grupo de $\mathbb{R}^n$ - el último es un enorme, infinito-dimensional del objeto.

El hecho de que la estructura de la fibra paquete es determinado por un cocycle con valores en $\underline{G}$ -- la gavilla de continuo [o tal vez suave, analítica,...] $G$valores de las funciones en la base del espacio es muy conveniente y útil en la teoría: se le da natural bijective correspondencias entre objetos geométricos con muy diferentes fibras.

Answer 2

Para comparar el vector de paquetes principal GL$(n)$ paquetes, hay una segunda, más canónica punto de vista que usted puede encontrar útil. Si $E \to B$ es un vector paquete, a continuación, el paquete de $n$-marcos en E es una de las principales GL$(n)$ paquete de más de $B$, que se denota por Fr$(E) \to B$. Este paquete se compone de todos los $n$-tuplas $(v_1, \ldots, v_n)$ de manera tal que el $v_i$ forma una base para la fibra de $B$. El grupo lineal general actúa en Fr$(E)$ mediante la siguiente fórmula, que sólo imita la multiplicación de la matriz: $$((v_1, \ldots, v_n) \cdot (a_{ij}) = (\sum a_{i1} v_i, \ldots, \sum a_{in} v_i),$$ donde $A = (a_{ij}) \in \textrm{GL}(n)$.

Se puede comprobar que Fr$(E)$ es una de las principales GL$(n)$ paquete, y que para la elección de la transición de las funciones para el paquete de $E$, la principal de las GL$(n)$ paquete construido a partir de esos datos es isomorfo a Fr$(E)$.

Answer 3

Incluso en el caso de vector de paquetes, usted necesita el segundo paso: en ese caso, una representación de $G$ $GL(V)$ donde $V$ es un modelo de fibra.

En todos los casos, la transición de las funciones de codificar la manera en que se supone que usted pegamento fibras juntos en la solapa, pero no hacer ninguna afirmación acerca de qué es lo que está pegado. Si la transición de las funciones de se $G$-valorado, usted todavía tiene que elegir un espacio con un $G$-acción para obtener un paquete.

Usted tiene un montón de opciones aquí. La forma más fácil es dejar que $G$ acto en sí mismo (o, más exactamente, una $G$-torsor) en un lado o en el otro. El paquete correspondiente a la transición de las funciones a continuación, es el principal asociado paquete.

O quizás $G$ tiene una representación natural $G \to GL(V)$. El correspondiente paquete es un vector paquete con fibra de $V$.

O quizás $G$ actúa sobre un espacio topológico $G \to Aut(X)$. El correspondiente paquete es un paquete de $X$s.

En cada caso, la transición de las funciones / cocycle sólo para describir el encolado de la información. La información acerca de lo que se va a pegar tiene que ser proporcionada mediante la selección de una acción de $G$$\text{Thing}$, dando un $\text{Thing}$-paquete pegado por el patrón descrito por su cocycle.