Está usted familiarizado con este teorema?
Teorema. (Kummer-Dedekind) Deje $K$ ser un campo numérico con el anillo de enteros $\mathcal{O}_K$, y deje $Z[\alpha]$ ser una orden de $K$, definido por un generador integral de $K/\mathbb{Q}$. Deje $f$ ser el polinomio mínimo de $\alpha$, $p$ racional prime, y deje $\overline{f}$ denotar la reducción de $f$ modulo $p$. Deje $\overline{f}=\overline{g}_1^{e_1}\cdots\overline{g}_k^{e_k}$ ser la factorización de $\overline{f}$ en los poderes de los distintos irreducibles $\overline{g}_i\in(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[x]$. Entonces:
El primer ideales de $\mathbb{Z}[\alpha]$ $p$ están en bijection con la irreductible factores de $\overline{g}_i$$\overline{f}$, donde cada factor $\overline{g}_i$ corresponde a un primer ideal $\mathfrak{p}_i=(p,g_i(\alpha))$ donde $g_i\in\mathbb{Z}[x]$ es cualquier elevación de $\overline{g}_i$.
Escrito $f=q_ig_i+r_i$,$q_i,r_i\in\mathbb{Z}[x]$, el primer ideal $\mathfrak{p}_i$ es no invertible si $e_i>1$$r_i\in p^2\mathbb{Z}[x]$.
$(p)\supseteq\mathfrak{p}_1^{e_1}\cdots\mathfrak{p}_k^{e_k}$, con igualdad si y sólo si todas las $\mathfrak{p}_i$ es invertible. A continuación,$p\nmid|\mathcal{O}_K:\mathbb{Z}[\alpha]|$, e $N(\mathfrak{p}_i)=p^{\deg(g_i)}$.
Si $\mathfrak{p}_i$ a no es invertible, entonces a $\frac{q_i(\alpha)}{p}\in\mathcal{O}_K\setminus\mathbb{Z}[\alpha]$.
Ahora bien, este es probablemente bastante más de lo necesario, pero es una útil teorema para calcular una gran cantidad de cosas, no sólo el primer ideales de $\mathcal{O}_K$, pero también (junto con algunos otros resultados de utilidad) de los grupos de la clase y los números de la clase.
Así que supongo que $I=(a,b)\lhd\mathcal{O}_K$. Entonces, si un primer ideal $\mathfrak{p}\mid I$,$a,b\in\mathfrak{p}$. Deje $(p)=\mathfrak{p}\cap\mathbb{Z}$. A continuación, por la multiplicidad de la norma, $N(\mathfrak{p})$ (que es un poder de $p$ por el teorema anterior) divide $N(a)$$N(b)$. Esto significa que los números primos dividiendo $I$ están por encima de lo racional primos dividiendo $\gcd(N(a),N(b))$, lo que le da una lista finita de números primos para comprobar.
Simplificando aún más, supongamos que $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\alpha]$. Ya que están relacionadas principalmente con el cuadrática caso, para $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$:
$$
\mathcal{S}_K=\begin{cases}
\mathbb{Z}[\sqrt{d}] & \text{ if }d\equiv 2,3\text{ mod }4 \\
\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{d}}{2}] & \text{ if }d\equiv 1\text{ mod }4
\end{casos}
$$
Así que siempre se puede escribir $\mathcal{O}_K$ en términos de un único elemento integral. A continuación, encontrará el posible $\mathfrak{p}=(p,g(\alpha))$. A continuación, $\mathfrak{p}\mid I$ si y sólo si $a,b\in(\overline{g})\lhd(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[\alpha]$. Esto puede comprobarse mediante la evaluación de las $a$ $b$ bajo la homomorphism $\mathcal{O}_K\rightarrow(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[\alpha]$ correspondiente a $\mathfrak{p}$.
La única dificultad real viene cuando un prime $\mathfrak{p}$ tiene multiplicidad mayor que 1. Pero esto generalmente se puede resolver mediante el uso de una norma argumento.
