Raíces de $\frac{z^n-1}{z-1}=b$

Question

Estoy intentando calcular la transformada de Laplace inversa de una distribución de probabilidad, y aunque no creo que pueda obtener una expresión de forma cerrada, me gustaría hacerme una idea de la forma general de la distribución. La transformada de Laplace es una bonita función racional, sin embargo, las raíces del denominador son la inversa (me refiero a $1/z$ ) de lo siguiente $$\frac{z^n-1}{z-1}=b$$

donde $b>1$ y real. ¿Qué se puede decir de los ceros del polinomio? ¿Son todos reales, cuál es su degeneración? ¿Hay algún $b$ límites derivados de las raíces (es decir, si todas caen en un círculo de radio $2b^{1/n}$ por ejemplo sé que no es cierto, sólo doy un ejemplo)?

Answer 1

La expresión $$\frac{z^{n+1}-1}{z-1}-b = 1-b+z+z^2+\cdots+z^n$$ puede considerarse como el $n^{\text{th}}$ suma parcial de la serie de potencias para $\frac{1}{1-z}-b$ cuyo círculo de convergencia es el círculo unitario. Por el teorema de Jentzsch, todo punto del círculo unitario será, pues, un punto límite de los ceros de estas sumas parciales.

Aquí hay un gráfico de todos los ceros para $n=3,4,\ldots,70$ con $b = 4$ . El círculo de la unidad se muestra en azul.

Parece que no hay puntos límite fuera del círculo de convergencia, lo que creo que se deduce del hecho de que los polinomios recíprocos de las sumas parciales en la parte superior de esta respuesta convergen a $1/(1-z)$ dentro del círculo unitario, que no tiene ceros.

Además, hay un punto límite dentro del círculo de convergencia en $z=(b-1)/b$ que es el único cero de la función límite de las sumas parciales que se encuentra dentro del círculo de convergencia.

(Lo anterior debe leerse en el contexto de Teorema de Hurwitz , que esencialmente dice que cualquier cero de la función límite que esté dentro del círculo de convergencia será un punto límite de las sumas parciales).

Por último, si tuviera que adivinar la velocidad de convergencia de los ceros al círculo unitario, diría que se aproximan a unos $O(1/n)$ basado en el trabajo con problemas similares.