Demostrar que $\operatorname{p.v.}(k\;*f)$ no existe si $k(x)=|x|^{-n+i\gamma}$ y $f\in\mathcal{C}_c^1$

Question

Pongo una recompensa sólo porque necesito rápidamente una solución, NO porque sepa que es difícil - tal vez lo sea, tal vez no. Estoy intentando hacerlo, pero sin resultados. Si consigo algún "resultado intermedio" (algo que creo que puede ser útil) lo escribiré aquí inmediatamente.

Considere la función $k(x)=|x|^{-n+i\gamma}$ definido en $\Bbb R^n$ , donde $\gamma$ es cualquier número real no nulo y $i$ es la unidad imaginaria.

$k$ es homogénea de grado $-n+i\gamma$ .

Tengo que demostrar que $$ \operatorname{p.v.}(k\;*f)(x):=\lim_{\epsilon\to0^+} \int_{\{|t|>\epsilon\}}|t|^{-n+i\gamma}f(x-t)\;dt %(k\chi_{\{|x|>\epsilon\}})*f $$ hace NO existe para $f\in\mathcal C_c^1(\Bbb R^n)$ (es decir $\mathcal{C}^1$ con soporte compacto), pero podemos encontrar una secuencia $\epsilon_j\to0$ tal que $$ \lim_{j\to+\infty}\int_{\{|t|>\epsilon_j\}}|t|^{-n+i\gamma}f(x-t)\;dt %(k\chi_{\{|x|>\epsilon_j\}})*f $$ existe para tal $f\;$ .

Excluimos el caso trivial $f\equiv 0$ .

No sé por dónde empezar, ¿alguien puede ayudarme, por favor?

Answer 1

Para analizar el comportamiento como $\varepsilon \to 0$ es útil escribir $f(x-t) = f(x) + \bigl(f(x-t) - f(x)\bigr)$ . Dado que ninguno de estos dos términos se aproxima $0$ en $\infty$ sólo podemos utilizar esa descomposición en conjuntos de medida finita, por lo que dividimos $k$ en dos partes, $k = k_1 + k_2$ , donde $k_1 = \chi_{\{ t : \lvert t\rvert \leqslant 1\}}\cdot k$ . Entonces $k_2$ es localmente integrable en $\mathbb{R}^n$ De ahí que

$$k_2 \ast f \colon x \mapsto \int_{\mathbb{R}^n} k_2(t)f(x-t)\,dt$$

es una función continua en $\mathbb{R}^n$ .

Para $0 < \varepsilon < 1$ tenemos

$$\int_{\lvert t\rvert > \varepsilon} k(t)f(x-t)\,dt = (k_2\ast f)(x) + \int_{\varepsilon < \lvert t\rvert \leqslant 1} k(t)f(x-t)\,dt$$

y escribir $f(x-t) = f(x) + \bigl(f(x-t) - f(x)\bigr)$ tenemos que analizar el comportamiento de

$$\int_{\varepsilon < \lvert t\rvert \leqslant 1} k(t)\bigl(f(x-t) - f(x)\bigr)\,dt\tag{$\ast$}$$

y

$$f(x)\cdot\int_{\varepsilon < \lvert t\rvert \leqslant 1} k(t)\,dt \tag{$\ast\ast$}$$

como $\varepsilon \to 0$ . Los supuestos de $f$ son más que suficientes para concluir que $(\ast)$ tiene un límite como $\varepsilon \to 0$ . Desde $f\in \mathcal{C}_c^1(\mathbb{R}^n)$ todas las derivadas parciales de $f$ son funciones continuas con soporte compacto, por tanto acotadas, y eso implica que $f$ es continua de Lipschitz, $\lvert f(x) - f(y)\rvert \leqslant L_f \cdot \lvert x-y\rvert$ . Bastaría con que $f$ sea $\alpha$ -Hölder continua para cualquier $\alpha > 0$ para ver que $(\ast)$ tiene un límite, pues entonces

$$\bigl\lvert k(t)\cdot \bigl(f(x-t) - f(x)\bigr)\bigr\rvert = \lvert t\rvert^{-n}\cdot \lvert f(x-t) - f(x)\rvert \leqslant C\cdot \lvert t\rvert^{-n}\cdot \lvert (x-t)-x\rvert^{\alpha} = C\cdot \lvert t\rvert^{\alpha-n},$$

así que $k(t)\cdot \bigl(f(x-t)-f(x)\bigr)$ es integrable por Lebesgue sobre la bola unitaria $\{ t : \lvert t\rvert \leqslant 1\}$ .

Queda por ver cómo $({\ast}\ast)$ se comporta como $\varepsilon \to 0$ . Podemos evaluar esa integral explícitamente utilizando coordenadas esféricas:

\begin {align} \int_ { \varepsilon < \lvert t \rvert \leqslant 1} \lvert t \rvert ^{-n + i \gamma dt &= \omega_ {n-1} \cdot \int_ { \varepsilon }^1 r^{-n+i \gamma r^{n-1}\\N-,dr \\ &= \omega_ {n-1} \cdot \int_ { \varepsilon }^1 r^{-1+i \gamma }\N-, dr \tag { $r = e^{\rho}$ } \\ &= \omega_ {n-1} \cdot \int_ { \log \varepsilon }^0 e^{i \gamma \rho }\,d \rho\\ &= \frac { \omega_ {n-1}}{i \gamma } \bigl (1 - e^{i \gamma \log \varepsilon } \bigr ), \end {align}

donde $\omega_{n-1}$ es el $(n-1)$ -el volumen de la esfera unitaria $\{ t : \lvert t\rvert = 1\}$ .

Como $\varepsilon \to 0$ el exponencial $e^{i\gamma \log \varepsilon}$ atraviesa todo el círculo unitario en $\mathbb{C}$ infinitamente a menudo, así que

$$\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\lvert t\rvert > \varepsilon} k(t)f(x-t)\,dt$$

sólo existe para $x$ con $f(x) = 0$ . Pero por cada $z\in \mathbb{C}$ con $\lvert z\rvert = 1$ podemos encontrar secuencias $\varepsilon_j \to 0$ tal que $e^{i\gamma \log \varepsilon_j} \to z$ (incluso podemos elegir la secuencia para que $e^{i\gamma \log \varepsilon_j} = z$ para todos $j$ ), y para tales secuencias tenemos

$$\lim_{j \to \infty} \int\limits_{\lvert t\rvert > \varepsilon_j} k(t) f(x-t)\,dt = \frac{\omega_{n-1}(1-z)}{i\gamma}f(x) + \int\limits_{\lvert t\rvert \leqslant 1} k(t)\bigl(f(x-t) - f(x)\bigr)\,dt + \int\limits_{\lvert t\rvert > 1} k(t)f(x-t)\,dt.$$