Descomposición Polar de la composición de dos $2 \times 2$ matrices

Question

En uno de Ruelle los papeles de "Rotación de Números para los Flujos y Diffeomorphisms" Ruelle tiene el siguiente cálculo que no entiendo por completo. Suponga que tiene dos invertible $2 \times 2$ matrices $A$ $B$ con polar descomposiciones $A = U(\theta(A))|A|$ $B = U(\theta(B))|B|$ donde $U(\theta)$ es el plano de rotación de la matriz por $\theta$ $|B|=\sqrt(BB^T)$ etc. Entonces él dice que $$ |\theta(AB)-\theta)\theta(B)| \leq \pi $$

Yo no entiendo muy bien cómo se obtiene este resultado sin una constante que depende de las normas de a y B. se puede empezar diciendo: $$ AB = U(\theta(AB))|AB| = U(\theta(a))|a| U(\theta(B))|B| $$ $$ = U(\theta(a)+\theta(B))U(-\theta(B))|a|U(\theta(B))|B| $$ así que $$ U(\theta(AB)-\theta)\theta(B)) = U(-\theta(B))|a|U(\theta(B))|B||AB|^{-1}. $$ En algún lugar en el papel que él le da como un toque $|\theta(PQ)| \leq \pi$ si $P$ $Q$ son positivas, pero no puedo ver cómo utilizarlo.

Answer 1

Deje $P=U(-\theta(B))|A|U(\theta(B))=U(\theta(B))^tAU(\theta(B))$ $Q=|B|$

$AB=U(\theta(A))|A|U(\theta(B))|B|=U(\theta(A))U(\theta(B))PQ=U(\theta(A)+\theta(B))PQ$.

Por lo tanto, $PQ=U(-\theta(A)-\theta(B))U(\theta(AB))|AB|=U(\theta(AB)-\theta(A)-\theta(B))|AB|=\theta(PQ)|PQ|$.

Por la unicidad de la descomposición polar de una matriz invertible, obtenemos $\theta(PQ)=\theta(AB)-\theta(A)-\theta(B)$.

Desde $P$ $Q$ es positiva definida, a continuación, $|\theta(PQ)|<\pi$ y el resultado de la siguiente manera.