¿Cuál es el trato con el vacío de los modelos en lógica de primer orden?

Question

Asaf la respuesta aquí me recordó algo que debería haber sido me molesta desde que me enteré de él, pero que tenía más o menos olvidado. En la lógica de primer orden, hay un convenio para trabajar sólo con la no-vacía los modelos de una teoría $T$. La razón dada generalmente es que las sentencias $(\forall x)(x = x)$ y $(\forall x)(x \neq x)$ retenida en el "modelo vacío" de $T$, así que si queremos que el conjunto de oraciones satisfecho por un modelo consistente, tenemos que rechazar el modelo vacío.

Esto huele a pescado a mí. No me puedo imaginar que una lo suficientemente categórica de configuración de la lógica de primer orden (en términos de functors $C_T \a \text{Set}$ la preservación de la estructura, donde $C_T$ es el "modelo libre de $T$" en un sentido apropiado) podría tener este defecto, o si lo hiciera sería por una razón. Así que algo está incompleto acerca de la configuración estándar de la lógica de primer orden, pero no sé qué podría ser.

El de arriba se ve como un ejemplo de demasiado simple para ser simple, excepto que no puedo explicar a mí mismo de la misma manera que yo pueda explicar otros ejemplos.

Answer 1

Bueno, si esta es la respuesta, es bastante tonto. Los axiomas de la lógica de primer orden en mis notas incluyen

$$(\forall x) p \Rightarrow p[t/x]$$

cual es manifiestamente falso para el modelo vacío y $p = \asesino de dólares tan sólo debe ser descartada y reemplazada por la correcta axioma

$$(\forall x) p \wedge (\exists x) \Rightarrow p[t/x].$$

Nada cambia, excepto para el conjunto vacío, donde la instrucción $(\forall x) \asesino$ es cierto, pero $\asesino$ no está, así que no hay ninguna contradicción.

Answer 2

No es que esto no es un problema?

La mayoría de los set-ups de la lógica de los axiomas fueron desarrollados hace mucho tiempo, en un tiempo cuando los matemáticos (no sólo los lógicos) pensé que querían sólo se preocupan de no-vacío de estructuras, y así se aseguraron de que $\exists x\, x=x$ era derivable en su sistema lógico. Lo que tenía que hacer esto para tener el teorema de completitud, que cada declaración verdadera en la intención de cada modelo se pueden derivar. Y, entonces, estos sistemas siguen teniendo que en la actualidad la propiedad.

Mientras tanto, muchos matemáticos desarrollado un lujo para considerar la estructura vacía en serio. Para los lógicos, desarrollado sistemas lógicos que se ocupan de esto, en los cuales $\exists x\, x=$ x no es derivable. Por ejemplo, este es siempre cómo puedo enseñar de primer orden de la lógica, y no es ningún problema en absoluto. Pero como usted señala en su respuesta, uno necesita usar una lógica diferente.

Así que si usted se preocupa por él, a continuación, asegúrese de utilizar el derecho lógicas de los axiomas, ya que definitivamente no quieren renunciar a la integridad teorema.

Answer 3

Mucho ado sobre nada!

Supongamos que admitimos vacío estructuras. No existe un verdadero obstáculo técnico, estamos infinitamente ingenioso.

Sin embargo, en lugar de comenzar con "Let $\mathbb{A}$ ser $L$-estructura," muchos de los teoremas tendría que comenzar con "Let $\mathbb{A}$ ser un no-vacío$L$-estructura". Pensar en el acumulado de los residuos de los recursos, la totalidad de los bosques destruidos para producir el papel adicional necesaria. Y en esta era de la electrónica, son los bits de un recurso renovable?

Pero uno debe admitir que también habría beneficios. Podría haber un nuevo matemáticos de especialidad, nit-selector, cuya tarea sería la de señalar con glee en los diversos lugares donde un famoso matemático tenía metida de pata por olvidar a lidiar con el vacío de las estructuras. En un momento de dificultad económica, esto podría impulsar el empleo, y contribuyen al producto nacional bruto.

Answer 4

(Este es sólo un menor de edad, además de las otras respuestas excelentes.)

Hay categórica bases para el modelo de la teoría: Makkai y Reyes, de Primer orden categórica de la lógica (LNM 611). Aquí está una cita de la página 72:

Un punto importante es que nos permiten el (parcial) de los dominios de $M(s)$ de $M$ a estar vacío. En el modelo de la teoría, generalmente los dominios se estipula que no puede ser vacío. Esta diferencia ligeramente los efectos de lo sequents se consideran lógicamente válida; c.f. a continuación.

Answer 5

Ambos $(\forall x)(x = x)$ y $(\forall x)(x \ = x)$ sostienen en el modelo vacío, y es perfectamente coherente. Lo que perdemos cuando nos movemos para vaciar los modelos, como Qiaochu puntos Yuan, son ciertas reglas de inferencia a la que estamos acostumbrados.

Para los de primer orden idiomas que incluyen la igualdad, el conjunto $S$ de enunciados que son verdaderos todos los modelos (vacío o no) es un subconjunto del conjunto de $S_N$ de enunciados que son verdaderos en todos los nonempty modelos. Debido a que la gran mayoría de los modelos que nos interesan están no vacío, en la lógica que normalmente aparecen en los conjuntos de reglas de inferencia que generan $S_N$ en lugar de reglas que generan $S$.

Un ejemplo concreto donde es la utilidad de esto es el algoritmo para poner una fórmula en forma normal prenex, que sólo es correcto cuando nos limitamos a no vacío de los modelos. Por ejemplo, la fórmula $(\forall x)(x \ = x) \de la tierra \bot$ es falso en cada modelo, pero su forma normal prenex $(\forall x)(x \ = x \de la tierra \bot)$ es verdadera en el modelo vacío. El beneficio marginal de considerar el modelo vacío no compensan la pérdida de la hermosa algoritmo de forma normal prenex que funciona para cada modelo. En los raros casos en que necesitamos tener en cuenta vacía modelos, nos damos cuenta de que tiene que trabajar con la alternativa de las reglas de inferencia; sólo que por lo general no vale la pena.

Desde un punto de vista diferente, considerando sólo no vacío de los modelos es análoga a sólo considerando Hausdorff colectores. Pero con el modelo vacío sólo hay un objeto que está siendo ignorado, que siempre se puede tratar como un caso especial, si tenemos que pensar en ello.