Estrategia de factorización de polinomios cuárticos: método cruzado.

Question

He encontrado un método para factorizar Cuartita polinomios que no entiendo cómo funciona.

Se presenta así:

Método cruzado Esta metodología permite factorizar polinomios ordenados y completados de 4ª polinomios de la forma

$$F(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$

Reglas:

1. Factorizar los términos extremos con el método de la cruz para obtener un término cuadrado (generalmente diferente del término cuadrado del polinomio original). polinomio original).
2. Consiga $\Delta$ de la diferencia del término al cuadrado del polinomio y el término del primer paso, y sustituir el resultado en el polinomio original.
3. A continuación, verifique las combinaciones binarias como doble factorización cruzada.

He utilizado para diferentes ejercicios y funciona, pero no entiendo la base de este método.

¿Alguien puede explicar las razones?

P.D.

Ejemplo

$$x^4+2x^3+3x^2+2x-3$$

1. Factorizando los términos extremos; $x^4$ y $-3$ :

$$(x^2+3)(x^2-1)$$ El resultado del método cruzado es $3x^2-x^2=2x^2$

2. Calculando $\Delta$ :

$$\Delta=\text{(original squared term)}-\text{(step one squared term)}= (3x^2)-(2x^2)=x^2$$

Y lo reemplazó en el polinomio original:

$$x^4+2x^3+x^2+2x-3$$

3. Utilizando el método cruzado para el segundo y cuarto término:

Para la segunda legislatura: $(x^2+x)(x^2+x)$ es $2x^3$

Para la cuarta legislatura: $(x+3)(x-1)$ es $2x$

Así que, arreglando los términos, los dos factores son:

$$(x^2+x+3)(x^2+x-1)$$

Answer 1

¿Sabes cómo factorizar ecuaciones cuadráticas? Este es un método para ello, adaptado para que funcione con las ecuaciones cuádricas. La razón por la que funciona es que muchas (pero no todas) ecuaciones cuádricas se factorizan en el producto de dos ecuaciones cuadráticas.

Para ver que esto no siempre funciona, aplícalo a $$p(x)=x^4-3x^3+x^2-2x-3=(x-3)(x^3+x+1)$$ El segundo término no es un factor más.

He aquí una forma menos confusa de dar las mismas instrucciones:

1. Asume el polinomio, $f(x)$ , factores en $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$
2. $bd$ debe dar el término constante del polinomio original, así que encuentra dos valores que se multiplican para dar el término constante y escribe $g(x)=(x^2+b)(x^2+d)=x^4+(b+d)x^2+bd$ . En el ejemplo computacional, $g(x)=(x^2+3)(x^2-1)$
3. Ahora veamos $f(x)-g(x)$ que es $2x^3+x^2+2x$ en tu ejemplo. Este es un polinomio de grado 3 sin término constante y representa las partes de los factores que aún necesitamos encontrar. En nuestra factorización, sabemos que el grado $1$ viene dado por $(ad+bc)x$ y ya hemos encontrado $b$ y $d$ . Del mismo modo, sabemos que el grado $3$ viene dado por $(a+c)x^3$ . Se trata de un sistema de ecuaciones con dos variables y dos incógnitas, por lo que se puede resolver. En tu ejemplo, estas ecuaciones son $-a+3c=2$ y $a+c=2$ respectivamente.
4. Resolviendo se obtienen los dos últimos coeficientes que necesitamos, y juntándolos con la pieza original se obtiene la factorización. En tu ejemplo, la solución $a=c=1$ funciona. Esto nos da $(x^2+x+3)(x^2+x-1)$

Answer 2

Puede que lo esté entendiendo mal, pero esto parece una expansión oculta $$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)\tag{1}$$ y comparando los coeficientes.

1. Factorización de los extremos

Bueno, lo que queremos es elegir $b$ y $d$ tal que $(x^2+b)(x^2+d)$ coincide con el factor principal y constante. Lo que equivale a encontrar $b$ y $d$ tal que $bd = -3$ . Digamos que tuvimos suerte y elegimos la pareja ganadora $b = -1,\ d=3.$

2. Calculando $\Delta$

¿Por qué es importante? Bueno, $(x^2-1)(x^2+3) = x^4+2x^2-3$ Así que nos falta uno $x^2$ : $\Delta = 3x^2 - 2x^2$ .

3. Cubrir a los desaparecidos $\Delta$

Sólo hay un lugar donde $\Delta$ puede venir, es decir, de $a$ y $c$ - debemos tener $ac x^2 = \Delta$ . ¿Por qué? Bueno, si se expande $(1)$ , encontrará que $x^2$ debe ser igual a $b + d + ac$ . Encontramos $b+d$ en el paso 1 y 2, por lo que $acx^2$ es igual a $\Delta$ . En este caso $ac = 1$ . Hay dos posibilidades en $\Bbb Z$ , ya sea $a=c=1$ o $a=c=-1$ . Es fácil decidir cuál es, ya que debe ajustarse también a los otros términos, a saber $x^3$ es igual a $a + c$ y el $x$ es igual a $ad + bc = 3a - c$ . Así, $a = c = 1$ .

4. Condiciones de cobro

Simplemente escribimos $(x^2+x-1)(x^2+x+3) = x^4+2x^3+3x^2+2x-3$ y sentir la magia que nos rodea.

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Ahora, hagamos lo mismo, sólo que de forma transparente:

$$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) = x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd$$

por lo que tenemos que resolver el siguiente sistema en $\Bbb Z$ :

\begin {array}{c r} \begin {align} a+c&=2 \\ b+d+ac&=3 \\ ad+bc&=2 \\ bd &= -3 \end {align} & \tag {2} \end {array}

Hay dos posibilidades, o bien $b = 1$ y $d = -3$ o $b = -1$ y $d = 3$ . Podemos ver que lo primero no conduce a ninguna solución, por lo que perseguiremos lo segundo, el sistema se convierte:

\begin {align} a+c&=2 \\ ac&=1 \\ 3a-c&=2 \end {align}

La primera y la tercera ecuación forman un sistema lineal, que tiene solución única $a = c = 1$ por suerte, consistente con la segunda ecuación. Así, ahora sabemos con certeza que $$(x^2+x-1)(x^2+x+3) = x^4+2x^3+3x^2+2x-3.$$

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Adenda:

Hay una pregunta legítima por la que consideraríamos $(1)$ en el primer caso. Ahora, estamos tratando de factorizar un cuártico sobre $\Bbb Z$ . Digamos que $p(x) = x^4 +2x^3+3x^2+2x-3$ y asumir que $p = fg$ . Tenemos que $\deg p = \deg f + \deg g$ Así que hay dos casos: $4=1+3$ o $4=2+2$ . El primer caso implicaría que $p$ tiene raíz entera y podemos utilizar teorema de la raíz racional para descartar eso. Por lo tanto, sólo el caso $4=2+2$ queda, lo que lleva a considerar $(1)$ .

Por último, si el sistema $(2)$ no tenía soluciones en $\Bbb Z$ , concluiríamos que $p$ es irreducible sobre $\Bbb Z$ .