Nunca he visto una operación ordinal utilizado; no estoy del todo seguro de que he visto, incluso, ya sea de orden lineal utilizado en cualquier manera sustancial. Que captó mi interés, sin embargo, por lo que he jugado con la primera un poco; puede que ya saben todo esto, pero si no, tal vez sea de alguna utilidad, en lugar de una referencia.
Voy a escribir $\,^{\beta\downarrow}\alpha$ para el conjunto de débilmente la disminución de $\beta$-secuencias en $\alpha$ $\prec$ el (estricto) de lexicográfica del orden en el ordinal secuencias. Toda la aritmética es el ordinal de la aritmética (y con suerte no he hecho grave error!).
Una débil disminución de $\beta$-secuencia $\sigma$ $\alpha$ puede ser codificado como una secuencia finita $$\Big\langle\langle\xi_k,\eta_k\rangle:k<\ell\Big\rangle\;,\tag{1}$$ where $\langle\xi_k:k<\ell\rangle$ is a strictly decreasing sequence in $\alpha$, $\eta_0+\dots+\eta_{\ell-1}=\beta$, and each $\eta_k>0$: the $\xi_k$ are the terms of the sequence, and $\eta_k$ is the order type of the subsequence of $\xi_k$ terms; I will call these the $k$-th term and the $k$-th length of $\sigma$, respectively. It will be convenient to rewrite the code $(1)$ as $\langle\xi_0,\eta_0,\xi_1,\eta_1,\dots,\xi_{\ell-1},\eta_{\ell-1}\rangle$ and denote this by $c(\sigma)$. It's not hard to see that $\sigma\prec\sigma'$ iff $c(\sigma)\prec c(\sigma')$.
Veamos primero el caso de $\beta=\omega^\lambda$ para algunos ordinal $\lambda$. Esto es equivalente a la afirmación de que si $\beta=\alpha+\gamma$,$\gamma=\beta$, por lo que el último longitud de los $\beta$-secuencia debe ser $\beta$, mientras que las otras longitudes pueden ser de cualquier ordinales menos de $\beta$.
Claramente $\left(\!\!\binom1{\beta}\!\!\right)=1$. El código de una $\beta$-secuencia en $2$ es $\langle 0,\beta\rangle$, de la forma $\langle 1,\eta,0,\beta\rangle$ algunos $\eta$ tal que $0<\eta<\beta$ o $\langle 1,\beta\rangle$, lo $\left(\!\!\binom2{\beta}\!\!\right)=\beta+1$. En general, supongamos que $\left(\!\!\binom{\alpha}{\beta}\!\!\right)=\gamma$. Claramente $\,^{\beta\downarrow}\alpha$ es un segmento inicial de $\,^{\beta\downarrow}(\alpha+1)$ con respecto al $\prec$. Si $\sigma\in\,^{\beta\downarrow}(\alpha+1)\setminus{^{\beta\downarrow}\alpha}$, el primer término de $\sigma$ debe $\alpha$. Deje $\eta$ ser la primera longitud de $\sigma$, y supongamos que $\eta<\beta$. Lo que queda de $c(\sigma)$ al $\alpha$ $\eta$ son despojados de ello es el código de algunos de los miembros de $\,^{\beta\downarrow}\alpha$, por lo que el conjunto de $\sigma\in\,^{\beta\downarrow}(\alpha+1)$ con primer término a $\alpha$ y el primer largo $\eta$ es de orden tipo de $\gamma$, y de ello se deduce fácilmente que el $$\left(\!\!\binom{\alpha+1}{\beta}\!\!\right)=\gamma\cdot\beta+1\;.$$
Ahora vamos a $\beta=\omega^{\lambda_1}+\omega^{\lambda_2}+\dots+\omega^{\lambda_m}$ donde $\lambda_1\ge\lambda_2\ge\ldots\ge\lambda_m$; esta representación, que es una variante de la forma normal de Cantor, es único. Supongamos que $\left(\!\!\binom{\alpha}{\beta}\!\!\right)=\gamma$. Como antes, $\,^{\beta\downarrow}\alpha$ es un segmento inicial de $\,^{\beta\downarrow}(\alpha+1)$. Supongamos que $\sigma\in\,^{\beta\downarrow}(\alpha+1)\setminus{^{\beta\downarrow}\alpha}$, por lo que el primer término de $\sigma$$\alpha$, y deje $\eta$ ser la primera longitud de $\sigma$. Si $\eta<\omega^{\lambda_1}$, lo que queda de $c(\sigma)$ al $\alpha$ $\eta$ se quitó la parte frontal es el código de algunos de los miembros de $\,^{\beta\downarrow}\alpha$. Por lo tanto, si $c(\tau)=\langle\alpha,\omega^{\lambda_1},0,\omega^{\lambda_2}+\dots+\omega^{\lambda_m}\rangle$, el conjunto de los antecesores de $\tau$ $\,^{\beta\downarrow}(\alpha+1)$ es de orden tipo de $\gamma\cdot\omega^{\lambda_1}$. Un fácil de inducción ahora muestra que $$\begin{align*}
\left(\!\!\binom{\alpha+1}{\beta}\!\!\right)&=\gamma\cdot\omega^{\lambda_1}+\gamma\cdot\omega^{\lambda_2}+\dots+\gamma\cdot\omega^{\lambda_m}+1\\
&=\gamma\cdot\Big(\omega^{\lambda_1}+\omega^{\lambda_2}+\dots+\omega^{\lambda_m}\Big)+1\\
&=\gamma\cdot\beta+1\;.\tag{2}
\end{align*}$$
De ahora en adelante supongo que $\lambda_1\ge 1$. Se desprende de lo $(2)$ que el dominante término en la forma normal de Cantor $\left(\!\!\binom{n+1}{\beta}\!\!\right)$$\omega^{\lambda_1\cdot n}$$n\in\omega$. (Es muy posible escribir toda la expansión, pero es bastante desordenado.)
Si $\alpha$ es un ordinal límite, los conjuntos de $\,^{\beta\downarrow}\lambda$ $\lambda<\alpha$ son el aumento inicial de los segmentos de $\,^{\beta\downarrow}\alpha$, lo $$\left(\!\!\binom{\alpha}{\beta}\!\!\right)=\sup_{\lambda<\alpha}\left(\!\!\binom{\lambda}{\beta}\!\!\right)\;.\tag{3}$$
En particular, $\left(\!\!\binom{\omega}{\beta}\!\!\right)=\omega^{\lambda_1\cdot\omega}$, y se sigue de $(2)$ $(3)$ que $\alpha\ge\omega$ el dominante término en la forma normal de Cantor $\left(\!\!\binom{\alpha}{\beta}\!\!\right)$$\omega^{\lambda_1\cdot\alpha}$, $\left(\!\!\binom{\alpha}{\beta}\!\!\right)=\omega^{\lambda_1\cdot\alpha}$ al $\alpha$ es un ordinal límite.
