Conjunto finito de la teoría y el Axioma de que el juego de Poder

Question

He estado pensando acerca de la teoría de conjuntos recientemente, y una de las cosas que me di cuenta fue de que si nos restringimos a los conjuntos finitos, entonces, el poder puede ser construido a través de la aplicación repetida de los axiomas de separación, de emparejamiento, y de la unión. Y que me hizo preguntarme cómo ZFC se ve cuando vamos a reemplazar el Axioma del Infinito con su negación.

Así que tengo un par de preguntas diferentes. Para esta pregunta, "conjunto finito teoría" se refiere a los Axiomas de Extensionality, Conjunto Vacío, Vinculación, Unión, Separación, y la negación de lo Infinito.

• Puede finita de la teoría de conjuntos probar que no existen conjuntos infinitos? La negación del infinito corta la jerarquía acumulativa en $V_\omega$, que puede ser suficiente, dada la Fundación, pero no es del todo claro para mí que la inexistencia de un conjunto inductivo implica la inexistencia de cualquier conjunto infinito.

• Por supuesto, el acumulado de jerarquía requiere el poder conjunto de la operación, por lo que este plantea mi pregunta inicial. Es el Axioma de Poder Establecer un teorema de finitud de la teoría de conjuntos?

• Son los Axiomas de la Sustitución y la Elección de los teoremas de conjunto finito de la teoría? Ya que ambos implican funciones, una pregunta relacionada es si las funciones se pueden construir en conjunto finito teoría, sin el poder conjunto de la operación.

• Dado respuestas a continuación, parece que el Axioma de Fundación puede ser más importante de lo que pensaba. ¿Cómo afecta a las respuestas a estos si se añade "conjunto finito teoría"?

Answer 1

Aquí es un modelo de un "conjunto finito de la teoría" (incluyendo la base), en la que existe un conjunto infinito y el Poder Establecido y de Reemplazo fallar. Deje $A=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\{\emptyset\}\},\{\{\{\emptyset\}\}\},\dots\}$ y deje $M$ es el cierre de $V_\omega\cup\{A\}$ en virtud de la Vinculación, Unión, y teniendo en subconjuntos (así que si $X\in M$$Y\subseteq X$$Y\in M$). Está claro que $M$ satisface todas sus axiomas, excepto, posiblemente, la negación de lo Infinito. Para demostrar la negación de lo Infinito, tenga en cuenta que si $X\in M$, luego el cierre transitivo de $X$ contiene sólo un número finito de elementos de cardinalidad $>1$ (ya que esto es cierto $A$, y para cada elemento de a $V_\omega$, y se conserva mediante la toma de pares, los sindicatos, y los subconjuntos). Por lo $M$ no puede contener cualquier conjunto inductivo.

Sin embargo, $M$ contiene un conjunto infinito, es decir,$A$. También es claro que la $M$ no cumple con el Poder Establecido, ya que $M$ contiene cada subconjunto de $A$ pero $\mathcal{P}(A)\not\in M$ (ya sea por el criterio mencionado anteriormente, o señalando que cada elemento de a $M$ es contable). La sustitución también se produce un error, ya que la usual definición recursiva de la obvia bijection $A\to\omega$ puede ser implementado en $M$, por lo que la Sustitución implicaría $\omega$ es un conjunto.

Este modelo satisface la Elección de la forma "si $X$ es un conjunto de distintos conjuntos no vacíos, entonces existe un conjunto que contiene un elemento de cada uno de ellos" (desde $M$ contiene todos los subconjuntos de a $\bigcup X$). No satisface a la Elección de la forma "si $X$ es un conjunto de conjuntos no vacíos, entonces existe una función de elección $X\to\bigcup X$", básicamente porque es muy duro para construir funciones como pone en $M$ (por ejemplo, si $X=A\setminus\{\emptyset\}$, la única función de elección para $X$ habría infinidad de 2-elemento establece en su clausura transitiva). Probablemente es posible construir un modelo en el que cualquier forma razonable de la Opción falla, pero no sé exactamente cómo hacerlo en el momento.

Answer 2

Ya que no incluyen a la Fundación, se puede obtener un muy extraño modelo de verdad. Es decir, considerar la posibilidad de una $\omega$modelo $M$ de ZF-Fundación+"no es un conjunto infinito $A$ de Quine átomos" (Quine átomo es un conjunto de satisfacciones $x=\{x\}$, y la existencia de muchos Quine átomos es consistente con ZF-Fundación). Ahora veamos la estructura de $W$ que es el cierre de $$V_\omega^M\cup A\cup\{[A]^n: n\in\mathbb{N}\}$$ under Pairing, Union, and Separation. Here "$[X]^k$" denotes the set of $k$-element subsets of $X$.

$W$ satisface conjunto finito de la teoría, pero no Powerset ($\mathcal{P}(A)$ no existe) o de la Elección (no hay función de elección para el conjunto de dos elementos, subconjuntos de a $A$).

No estoy seguro de si $W$ satisface Reemplazo, pero sospecho que no, y yo no ver de inmediato cómo agregar un fallo de Reemplazo. Mientras tanto, la incorporación de la Fundación parece difícil.

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Si definimos $W$ como la Asociación/Unión/Separación de cierre de $$V_\omega^M\cup A\cup\mathcal{P}(A)\cup\{[\mathcal{P}(A)]^n: n\in\mathbb{N}\}$$ instead, where $M$ satisfies "$$ is an amorphous set of Quine atoms", then I believe we get a model of finite set theory together with the negation of Replacement and Powerset; powerset fails since we don't have $\mathcal{P}^2(A)$, and Replacement fails since the image of the map sending each subset of $$ a su cardinalidad si es finito, o la cardinalidad de su complemento de lo contrario, no existe.