Los filtros genéricos en el modelo de terreno (forzar)

Question

En su libro la Teoría de conjuntos (segunda edición), página 203, Thomas Jech escribe

Lema 14.4 Deje $\mathfrak{M}$ ser una contables modelo de ZFC y $P$ ser un conjunto parcialmente ordenado. Si $p\in P$, existe un filtro genérico en $P$.

A continuación, el siguiente ejercicio:

Ejercicio Vamos a $\mathfrak{M}$ anterior. Deje $P\in M$ ser un conjunto parcialmente ordenado con ningún átomo (por cada $p\in P$, entonces no existe $q,r\in P$ tal que $q,r\le p$ y $q,r$ son incompatibles). Si $G\subset P$ es genérico más de $\mathfrak{M}$, a continuación,$G\not\in \mathfrak{M}$.

El corto de la prueba del Lema 14.4 se da aquí:

De acuerdo con el ejercicio, el filtro de $G$ construido en esta prueba no pertenecen a $\mathfrak{M}$ en algunos casos. Pero, ¿por qué ? Desde $P\in \mathfrak{M}$ parece que $G\in \mathfrak{M}$ mediante la comprensión, ¿no ?

Answer 1

Si $G$ pertenece a $\mathfrak{M}$, entonces también lo hace $P \setminus G$. Desde $P$ no tiene átomos, es fácil mostrar que $P \setminus G$ es denso en $P$, y por lo tanto $G \cap ( P \setminus G ) \neq \emptyset$ por genericity, lo cual es absurdo!

El punto es que en la prueba del Lema 14.4 se enumeran los subconjuntos densos de $P$ que pertenecen a $\mathfrak{M}$, y esta enumeración suelen tener lugar fuera de la $\mathfrak{M}$, y en el "mundo real". De esto no hay ninguna razón para esperar que la secuencia de las condiciones de $P$ basa su conjunto genérico $G$ pertenece a $\mathfrak{M}$, y por lo tanto hay poca razón para esperar que el conjunto genérico pertenece a $\mathfrak{M}$. De hecho, el ejercicio hace que sea evidente que bajo bastante suave (y muy común) supuestos el conjunto genérico se puede probar que no pertenecen a $\mathfrak{M}$.

Answer 2

La comprensión de dice (eliding algunos detalles) que $\{x\in A | \varphi(x)\}$ existe en $\mathfrak{M}$ para cualquier fórmula $\phi$ (con parámetros); es de suponer que usted tiene la intención $A$ aquí para ser $P$. Pero no hay en general va a ser cualquier fórmula $\varphi$ a definir un filtro genérico $G$, por lo que la comprensión no dicen que ese $G \in \mathfrak{M}$.