Es $R^n$ proyectiva como un $M_n(R)$-módulo?

Question

Está claro que $R^n$ no está libre de más de $M_n(R)$. Pero es proyectiva? Sospecho que debe ser proyectiva porque nosotros probablemente puede venir para arriba con un proyectiva base, pero no estoy seguro de cómo encontrar la base.

Por otra parte, lo ideal si $R^n$ fueron proyectiva sobre $M_n(R)$, obtendríamos una gran clase de módulos proyectivos que no son libres, lo cual sería muy interesante, supongo.

Answer 1

Siempre que $e$ es un elemento idempotente en un anillo de $S$, el de la izquierda ideal $Se$ $S$ es, cuando se ve como un módulo, proyectiva. De hecho, se puede comprobar fácilmente que $f=1-e$ también es idempotente y que $S=Se\oplus Sf$.

Ahora si $S=M_n(R)$ es una matriz de anillo sobre algún otro anillo de $R$, la primaria de la matriz $e=E_{1,1}$ (uno de cuyos componentes son todos iguales a cero, excepto para el uno en la posición $(1,1)$, que es igual a $1$) es idempotente. Usted debe verificar que la izquierda ideal $Se$ es isomorfo a $R^n$ $S$- módulo.

Answer 2

Tenga en cuenta que $M_n(R) \cong (R^{n})^{\oplus n}$ considerando una matriz de columnas de tuplas en $R^n$. (Este es un isomorfismo de $M_n(R)$-módulos por la definición de multiplicación de matrices: para multiplicar dos matrices $A$$B$, aplicamos $A$ a cada una de las columnas de a $B$.) A continuación,$R^n \oplus (R^n)^{\oplus n-1} \cong M_n(R)$, lo $R^n$ es un sumando directo de un módulo, por lo tanto es proyectiva.

Answer 3

Sí: $R^n$ es un finitely generado proyectiva generador de $\textrm{Mod-}R$, por lo que es un finitely generado proyectiva generador como un módulo más de su endomorfismo anillo, que es el anillo de las matrices de $M_n(R)$.

Esto es bastante sencillo en general. Deje $P_R$ ser un finitely generado proyectiva generador de $\mathrm{Mod\text{-}}R$ y deje $S=\operatorname{End}(P_R)$. A continuación, $P$ es una izquierda $S$-módulo. Vamos a probar que es un finitely generado proyectiva generador.

Considere la posibilidad de una (split) epimorphism $R^n\to P$. Mediante la aplicación de $\operatorname{Hom}_R(-,P)$, obtenemos la división monomorphism $$\operatorname{Hom}_R(P,P)\a\operatorname{Hom}_R(R^n,P)$$ El dominio es isomorfo a $S$ como un módulo de la izquierda, el codominio es isomorfo a $P^n$ $S$- módulos. Por lo tanto $S$ es un sumando directo de ${}_SP^n$ ${}_SP^n$ es un generador de $S\textrm{-Mod}$, lo que implica ${}_SP$ es un generador así.

Desde $P_R$ es un generador, hay una división epimorphism $P^n\to R$. Entonces, aplicando $\operatorname{Hom}_R(-,P)$, obtenemos una fracción de monomorphism $\operatorname{Hom}_R(R,P)\to\operatorname{Hom}_R(P^n,P)$. El dominio es isomorfo a ${}_SP$ y el codominio es isomorfo a ${}_SS^n$. Por lo tanto ${}_SP$ es un sumando directo de ${}_SS^n$ y por lo tanto es finitely generado proyectiva.