Demostrar que $x^\alpha \cdot\sin(1/x)$ es absolutamente continua en $(0,1)$

Question

Agradecería cualquier ayuda con mi HW ejercicio:

Demostrar que $f(x) = x^\alpha \cdot \sin(1/x)$ es absolutamente continua en $(0,1)$, cuando se $\alpha>1$.

Es fácil encontrar la derivada de $f$:

$$f'(x) = \alpha x^{\alpha-1} \sin(1/x) - x^{\alpha-2} \cos(1/x).$$

Así, al $1<\alpha<2$, la función no es Lipschitz, y ese es el principal problema.

He buscado preguntas similares y encontré este: Ejemplos de funciones continuas que no son de Lipschitz. y esto: http://mathdl.maa.org/images/cms_upload/0002989049585.di021349.02p00072.pdf

Pero yo no podía entender el archivo PDF, el cual sólo maneja el caso de $\alpha=3/2$.

Gracias!

Answer 1

Supongo que $1<\alpha<2$. Si no, como lo dijo el interrogador, $f(x)$ es de Lipschitz en $(0,1)$, y que el problema es más sencillo.

Usted puede utilizar el siguiente enfoque. Tome un pequeño $\delta>0$. Desea enlazado $V=\sum_i |f(x_i)-f(y_i)|$ siempre $S=\{(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)\}$ es un conjunto finito de pares distintos intervalos de contenido en $(0,1)$$\sum_i |x_i-y_i|<\delta$.

Deje $N$ ser el entero más pequeño tal que $N>(2\pi \delta)^{-1}$, y dividir el intervalo en dos partes, $(0,1/(2\pi N))$$(1/(2\pi N),1)$. Al dividir el intervalo en $S$ si es necesario, lo que no disminuye la $V$, se puede asumir que cada uno de los miembros de $S$ es $(0,1/(2\pi N))$ o $(1/(2\pi N),1)$.

Deje $V_1$ ser la porción de $V$ proveniente de los intervalos en $(0, 1/(2\pi N))$. Aquí, la función de $f(x)$ tiene alternando los máximos y mínimos locales. La maxima están cerca de los valores de $x=2/((4n+1)\pi)$; deje $M_n$ ser el valor de $x$ cerca de $x=2/((4n+1)\pi)$ donde $f(x)$ tiene un máximo local. Del mismo modo, los mínimos están cerca de los valores de $x=2/((4n+3)\pi)$; deje $m_n$ ser el valor de $x$ cerca de $x=2/((4n+3)\pi)$ donde $f(x)$ tiene un mínimo local.
Argumentan que $$V_1\le |f(M_N)|+|f(M_N)-f(m_N)|+|f(m_N)-f(M_{N+1})|+\cdots\ \ \ (1)$$ y que $$ f(M_n)=f(m_n)=O(n^{-\alpha}).\qquad (2) $$ Entonces, la combinación de $(1)$$(2)$, a la conclusión de que $V_1=O(N^{1-\alpha})$.

Deje $V_2$ ser la porción de $V$ proveniente de los intervalos en $(1/(2\pi N),1)$. En esta parte de $(0,1)$, $|f'(x)|$ está delimitado por encima, por lo que la función de $f(x)$ es de Lipschitz. Argumentan que la constante de Lipschitz es $O(\delta^{\alpha-2})$. Por lo tanto, $V_2$$O(\delta^{\alpha-1})$.

Desde $V=V_1+V_2$, la adición de las estimaciones anteriores juntos debe demostrar que $V\to 0$$\delta\to 0$.

Answer 2

Para cualquier $ \delta > 0 $, la función de $ f(x) $ es de Lipschitz en $ [\delta,1] $, desde $$ |f'(x)| = |a x^{a-1} \sin \frac{1}{x} - x^{a-2} \cos \frac{1}{x}| \leq |a x^{a-1} \sin \frac{1}{x}| + |x^{a-2} \cos \frac{1}{x}| \leq a |x|^{a-1} + |x|^{a-2} < a + \delta^{a-2} < \infty \ \ \ (**)$$ Por lo tanto, para cada $ x,y \in [\delta,1] $ I puede encontrar un número de $ c $ tal que $ \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} < c $ (desde $ |f'(x)| < \infty $$ [\delta , 1] $) y, por tanto, $ f(x) $ CA $ [\delta , 1] $.\

$$ f(x)=f(\delta)+\int^{x}_{\delta} f'(t)dt \Rightarrow f(x)=f(\delta)+\int^{1}_{0} f'(t) \chi_{[\delta , x]} dt $$ Elija $ \delta = \frac{1}{n} $ y tomar el límite cuando $ n $ enfoques infinito $$ \lim_{n \rightarrow \infty} f(x)= \lim_{n \rightarrow \infty} f(\frac{1}{n})+ \lim_{n \rightarrow \infty} \int^{1}_{0} f'(t) \chi_{[\frac{1}{n} , x]} dt \ \ \ (*)$$ Por otra parte, $ f(x) $ es continua en a $x=0$. Porque $$-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1 \Rightarrow -x^a \leq x^a \sin \frac{1}{x} \leq x^a \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0^+} -x^a = 0 \leq \lim_{x\rightarrow 0^+} x^a \sin \frac{1}{x} \leq \lim_{x\rightarrow 0^+} x^a = 0 \Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0^+} x^a \sin \frac{1}{x}=0 $$ And because $ f(0)=0 $ we conclude that $ f(x) $ is continuous at $ x=0 $.

$$ (*) \Rightarrow f(x)=f(0) + \lim_{n \rightarrow \infty} \int^{1}_{0} f'(t) \chi_{[\frac{1}{n} , x]} dt $$ Por $ (**) $ sabemos que $ |f'(t) \chi_{[\frac{1}{n} , x]}| \leq |f'(t)| \leq ax^{a-1} + x^{a-2} = g(x)$ si $ a>1 $ $ g(x) $ es Riemann integrable sobre $ [0,1] $ (y por lo tanto es Lebesgue integrable) desde $$ \int^{1}_{0} ax^{a-1} + x^{a-2} = a + \frac{1}{a-1} < \infty $$ Y debido a que $ f'(t) \chi_{[\frac{1}{n} , x]} $ converge pointwise una.e a $ f'(t) \chi_{[0 , x]} $, el uso de la Lebesgue teorema de Convergencia Dominada, tendríamos $$ f(x)=f(0) + \lim_{n \rightarrow \infty} \int^{1}_{0} f'(t) \chi_{[\frac{1}{n} , x]}dt \Longrightarrow_{L. D. C} f(x)=f(0) + \int^{1}_{0} f'(t) \chi_{[0 , x]}dt \\ \Rightarrow f(x)=f(0) + \int^{x}_{0} f'(t)dt \Longrightarrow f(x) \ \ AC \ si a > 1 \ \ \ \cuadrado$$