Producto de Polinomios es igual a Cero

Question

¿Cómo puedo probar que si dos polinomios (más de reales) tener un producto de cero, entonces uno de los polinomios debe ser cero?

Answer 1

Diferentes pruebas. Todas distinto de cero polinomios tienen un alto fin de plazo $a_nx^n$ con $a_n\ne0$, $n\ge 0$ entero. (Alto orden significa que todos los términos en el polinomio tiene un exponente $\le n$; por ejemplo, en $a+bx+cx^2$ el de alto orden término es $cx^2$.) Supongamos que ambos polinomios tienen altos términos de orden, $a_nx^n$ $b_mx^m$ respectivamente, con $a_n\ne 0$$b_m\ne 0$. Entonces, el término se $a_nb_mx^{n+m}$ aparece en el producto, y lo que es más es el único término en el $x$ aparece con exponente $n+m$. Sin embargo, nuestra hipótesis de $a_nb_m$ tiene que ser cero. El producto de dos reales distintos de cero es cero. Este es el deseado contradicción.

Answer 2

Quizás más simple:

Supongamos $p(x) q(x) = 0$, con ni $p(x)$ ni $q(x)$ idéntica a cero. WLOG, que el primer polinomio tiene $n$ raíces y el segundo, $m$ raíces. Deje $a \in \mathbb R$ ser cualquier número real distinto de estas raíces (que son finitos). Ahora $p(a) \neq 0$ $a$ no es una raíz, y de manera similar a $q(a) \neq 0$. Pero $p(a)q(a) = 0$, por lo que tenemos una contradicción como dos no-cero de los números reales están dando un producto cero.

Answer 3

Sugerencia: cualquier polinomio que no es cero sólo tiene un número finito de raíces, y el producto tiene una raíz si y sólo si uno de los factores que tiene una raíz.

Answer 4

Deje $p(x),q(x) \in \mathbb R[x]$ ser de dos dos cero polinomios de grado $m$ $n$ respectivamente. Podemos escribir $p$ $q$ de esta manera :

$$p(x) = \sum_{i=0}^{m}a_ix^i$$ $$q(x) = \sum_{j=0}^{n}b_jx^j$$

Desde $p$ $q$ no cero de orden $m$ $n$ respectivamente, entonces la última coeficientes de $a_m$ $b_n$ debe ser distinto de cero. Ahora vamos a llevar su producto :

$$p(x)\cdot q(x)=\sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n}a_ib_jx^ix^j=\sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n}a_ib_jx^{i+j}$$

Este polinomio resultante es cero si y sólo si todos sus coeficientes son cero, es decir, $a_ib_j$ todos los $i$$j$. Desde $a_m\neq0$$b_n\neq0$, entonces la última coeficiente de este nuevo polinomio, es decir,$a_nb_m$, no es cero. Por lo tanto,$p(x)\cdot q(x)\neq 0$.

Tomar la contraposición y listo.

Answer 5

$\bullet \;$Deje $p(x)=\sum_{j=0}^na_jx^j$ donde $n\geq 1$ $a_n\ne 0.$ $x\ne 0$ tenemos $p(x)=a_nx^n(1+\sum_{j=0}^{n-1}a_j/x^{n-j}a_n).$ $$(\;|x|>1 \land|x|>\max_{0\leq j\leq n-1} 2 n |a_j/a_n|\;)\implies$$ $$\implies \max_{0\leq j\leq n-1}|a_j/x^{n-j}a_n|\leq \max_{0\leq j\leq n-1}|a_j/x a_n|<1/2 n\implies $$ $$\implies |p(x)|\geq |a_nx^n|\cdot |1-\sum_{j=0}^{n-1}|a_j/x^{n-j}a_n|\geq |a_nx^n|\cdot |1-\sum_{j=0}^{n-1}1/2 n|=$$ $$=|a_nx^n/2|\ne 0.$$

$\bullet \;$ $p$ Anterior y con $q(x)=\sum_{i=0}^mb_ix^i$ $b_m\ne 0$ hemos $$p(x)q(x)=a_n b_mx^{m+n}+\sum_{k=0}^{n+m-1}c_kx^k$$ for some constants $c_k \;(k=0,...,n+m-1)$

Aplicar el resultado del primer párrafo del polinomio $p(x)q(x),$ vemos que $p(x)q(x)$ no está constantemente $0.$