Creo que la de ellos algo mal con esta prueba, ya que no era difícil de crear, si alguien podía encontrar un error que me sería de gran appreiciate:
Definir una función $[k\equiv b \bmod a]$, para ser igual a cero si $k$ no es congruente a $b \mod a$, y 1 si lo es.
A partir de esta definición tenemos:
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\ln(k)}{k^s}[k\equiv b.mod. a]=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k^s}\sum _{j=1}^{\infty} \frac{[jk\equiv \bmod a]}{j^s}$$
(suponga que la declaración es verdadera ^, es el único lema voy a pedir, y la prueba tarda de 2 a ver aquí)
Pero podemos freno que se suma a las partes, con la identidad, $$\sum _{j=1}^{\infty}f(j)=\sum_{r=1}^{a}\sum_{j=0}^{\infty}f(aj+r)$$ (se acaba de romper en congruencias que aún forman una base para todos los números enteros, por ejemplo, los pares e impares enteros son el caso donde a=2)
así tenemos $$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\ln(k)}{k^s}[k\equiv \bmod a]=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k^s}\sum _{j=1}^{\infty} \frac{[jk\equiv b.mod. a]}{j^s}$$$$=\suma de _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k^s}\sum_{i=1}^{a}\sum _{j=0}^{\infty} \frac{[(aj+r)k\equiv b.mod. a]}{(aj+r)^s}=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k^s}\sum_{i=1}^{a}\sum _{j=0}^{\infty} \frac{[rk\equiv b.mod. a]}{(aj+r)^s}$$
pero también se nota $\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{(aj+r)^s}=\frac{\zeta(s)}{a^s}+o(1)$, por lo que tenemos
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k^s}\sum_{r=1}^{a}\sum _{j=0}^{\infty} \frac{[rk\equiv \bmod a]}{(aj+r)^s}=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k^s}\sum_{r=1}^{a} [rk\equiv \bmod a](\frac{\zeta(s)}{a^s}+o(1))))=(\frac{\zeta(s)}{a^s}+o(1))\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k^s}\sum_{r=1}^{a} [rk\equiv \bmod a]$$
seguimiento de un poco tenemos, $$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\ln(k)}{k^s}[k\equiv \bmod a]=(\frac{\zeta(s)}{a^s}+o(1))\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k^s}\sum_{r=1}^{a} [rk\equiv \bmod a]$$ y así tenemos, $$\sum _{j=0}^{\infty }\frac{\ln(aj+b)}{(aj+b)^s}=(\frac{\zeta(s)}{a^s}+o(1))\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k^s}\sum_{r=1}^{a} [rk\equiv \bmod a]$$
(sentido de todas las soluciones a $k\equiv b$ mod a, tomar en el formulario aj+b para todos los enteros 'j')
y por lo $$\frac{a^s}{\zeta(s)}\sum _{j=0}^{\infty }\frac{\ln(aj+b)}{(aj+b)^s}=(1+o(\frac{a^s}{\zeta(s)}))\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k^s}\sum_{r=1}^{a} [rk\equiv \bmod a]$$
ahora tomando el límite cuando s>1, podemos ver
$$\infty=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k}\sum_{r=1}^{a} [rk\equiv \bmod a]=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k}[k\equiv b.mod. a]+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k}[2k\equiv b.mod. a]+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k}[3k\equiv b.mod. a]+...\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k}[(a-1)k\equiv b.mod. a]$$
y para que una secuencia finita de términos positivos a divergir, al menos uno de los términos divergentes, por lo que la selección de cualquier $0<c<a$, vemos que no debe ser algo de c, mayor que cero y menor que a, tal que para todo b,
$$\infty=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k}[ck\equiv b.mod. a]$$
y el sentido $ck\equiv b$ mod, sólo tiene soluciones si c y a son coprime, vemos que $[ck\equiv b.mod. a]=0$, si c,un arn no coprime, y el sentido de nuestra serie diverge, vemos que el c elegimos debe ser coprime a una.
Así que para reiderate hemos demostrado que para algunas c coprime a una, y menos entonces, tenemos $$\infty=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k}[ck\equiv b.mod. a]$$, ahora en sentido que aun no explícitamente definido el entero b, podemos hacer que sea un múltiplo de c en este punto, decir $b=c*d$, por lo tanto tenemos $$\infty=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k}[ck\equiv cd.mod. a]$$ pero el sentido c es coprime a una, podemos cancle desde ambos lados de la congruencia, de dar, $$\infty=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\Lambda(k)}{k}[k\equiv d.mod. a]$$ pero el sentido de la vonmangoldt suma es un proxyed suma sobre el primer poderes, y ningún poder mayor que 2 es imperceptible vemos,
$$\infty=\sum _p\frac{\ln(p)}{p}[p\equiv d.mod. a]$$
y sentido, si hay un número finito de números primos congruentes a d mod a, la serie no difieren, podemos concluir dirichlets teorema es verdadero.
(Entiendo que la totalidad de la prueba se basa en la primera declaración, pero puedo demostrar que es cierto el uso de sólo algunos elementry álgebra, y algunas otras ideas que he trabajado, y aunque su demasiado tiempo para publicar aquí, si está interesado puede enviarme un correo electrónico, la prueba de la primera statrement es acerca de una página de largo, pero puede ser condensada)
