Demostrar que cada elemento de $a_{n+2013}=\frac{a_{n+1}a_{n+2}...a_{n+2012}+1}{a_n}$ es un número entero

Question

Dado $\displaystyle a_1=a_2=\cdots=a_{2013}=1$ y $\displaystyle a_{n+2013}=\frac{a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+2012}+1}{a_n}$ .

Demostrar que $a_{n+2013}\in\mathbb{N}$ para todos $n\in\mathbb{N}$ .

Intenté probarlo con la inducción, pero fracasé. Por favor, ayuda. Gracias.

Answer 1

Para este tipo de preguntas, está claro que $2013$ es arbitraria. Sustituyamos $2013$ por $k \geq 2$ Así que $$a_1, a_2, \ldots , a_k=1, a_{n+k}=\frac{a_{n+1}a_{n+2} \ldots a_{n+k-1}+1}{a_n}, n \geq 1$$

Está claro que $a_{n+k}>0$ .

Demostramos por inducción que $n \geq 1$ que $a_{n+k} \in \mathbb{Z}$ .

Cuando $1 \leq n \leq k$ , $a_n=1$ , así que claramente $a_{n+k}=\frac{a_{n+1}a_{n+2} \ldots a_{n+k-1}+1}{a_n}=(a_{n+1}a_{n+2} \ldots a_{n+k-1}+1) \in \mathbb{Z}$ .

Supongamos que la afirmación es válida para $1 \leq n \leq m, m \geq k$ . Entonces, tomando $\pmod{a_{m+1}}$ , \begin{align} & a_{m+2}a_{m+3} \ldots a_{m+k}+1 \\ & \equiv -(a_{m+1}a_{m+1-k}-1)(a_{m+2}a_{m+3} \ldots a_{m+k})+1\\ & \equiv -(a_{m-(k-2)}a_{m-(k-3)} \ldots a_{m})(a_{m+2}a_{m+3} \ldots a_{m+k})+1 \\ & \equiv -\prod_{i=1}^{k-1}{(a_{m+1-k+i}a_{m+1+i})}+1 \\ & \equiv -\prod_{i=1}^{k-1}{(a_{(m+1-k+i)+1}a_{(m+1-k+i)+2} \ldots a_{m+1} \ldots a_{(m+1-k+i)+(k-1)}+1)}+1 \\ & \equiv 0 \pmod{a_{m+1}} \end{align}

Así, $a_{(m+1)+k}=\frac{a_{m+2}a_{m+3} \ldots a_{m+k}+1}{a_{m+1}} \in \mathbb{Z}$ y hemos terminado por inducción.