Distribución de la Proporción de la Exponencial y Gamma variable aleatoria

Question

Una reciente pregunta le preguntó acerca de la distribución de la relación de dos variables aleatorias, y la respuesta aceptada hubo una referencia a la Wikipedia, que (en forma simplificada y reformulado forma) afirma que si $X$ es una variable aleatoria Gamma con parámetros de $(n, 1)$ $Y$ es una exponencial de la variable aleatoria con el parámetro $1$, $Y/X$ es una variable aleatoria de Pareto con los parámetros de $(1, n)$. Presumiblemente $X$ $Y$ deben ser independientes para este resultado para celebrar. Pero, de Wikipedia, en la página de Pareto variables aleatorias no parece incluir una declaración en cuanto a lo $(1, n)$ significa que, aunque se basa en lo que hace, dice, una interpretación razonable es que el Pareto variable aleatoria toma valores en $(1,\infty)$ y su complementario de CDF desaparezca como $z^{-n}$.

Mi pregunta es: ¿cuál es la explicación intuitiva de la relación $Y/X$ valor $1$ o más? Parece que todos los valores positivos, debe ocurrir, y de hecho el evento $\{Y < X\}$ debe tener gran probabilidad desde la Gamma variable aleatoria tiene más grande, significa que la exponencial de la variable aleatoria.

Hice el trabajo fuera del complemento de CDF de $Y/X$ y consiguió $(1+z)^{-n}$ $z > 0$ que no es lo que Wikipedia reclamaciones.

Se agregó una Nota: Gracias a Sasha y Didier Piau para confirmar mi cálculo que para $z > 0$, $P\{Y/X > z\} = (1+z)^{-n}$ lo que por supuesto implica que $$P\{Y/X + 1 > z\} = P\{Y/X > z-1\} = (1 + z - 1)^{-n} = z^{-n}~ \text{for}~ z > 1$$ y así es $Y/X + 1$ que es una variable aleatoria de Pareto, no$Y/X$, como lo afirma De Wikipedia. Esto conduce a una respuesta simple a una pregunta planteada por S Huntsman: ¿hay alguna (pares) de simple distribuciones que dan lugar a una ley de potencia de relación?

Si $W$ $X$ $(n+1)$- th y $n$-th tiempos de llegada en un (homogéneo) proceso de Poisson, a continuación, $W/X$ es una de Pareto $(1,n)$ variable aleatoria: $P\{W/X > a\} = a^{-n}$$a > 1$.

Sospecho que este resultado es bastante bien conocido en la teoría de la de Poisson procesos, pero no tengo una referencia para él.

Answer 1

Como yo dije en los comentarios, $Y/X + 1$ sigue la $\mathrm{Pareto}(1,n)$, no $Y/X$.

$$ \phi_{Y/X}(t)= \mathbb{E}\left(\exp\left(yo t \frac{Y}{X}\right)\right) = \mathbb{E}\left( \phi_Y\left( \frac{t}{X} \right) \right) = \mathbb{E}\left( \frac{X}{X i t} \right) $$ Escribir el último expectativa de forma explícita: $$ \begin{eqnarray} \phi_{Y/X}(t) &=& \frac{1}{(n-1)!} \int_0^\infty \frac{x^n}{x - i t} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d} x = \frac{1}{(n-1)!} \int_0^\infty \mathrm{d} u \int_0^\infty x^n \mathrm{e}^{-x} \mathrm{e}^{-u(x - i t)} \mathrm{d} x \\ &=& \frac{1}{(n-1)!} \int_0^\infty \mathrm{e}^{i t u} n! (1+u)^{-1-n} \, \mathrm{d} u = \mathrm{e}^{-i t} \int_0^\infty \mathrm{e}^{i t (u+1)} \, \frac{n}{(1+u)^{n+1}} \mathrm{d} u \\ &=& \mathrm{e}^{-i t} \phi_{\mathrm{Pareto}(1,n)}(t) \end{eqnarray} $$ Esto demuestra que $Y/X \stackrel{d}{=} Z - 1$ donde $Z$ siguiente $\mathrm{Pareto}(1,n)$