¿Cuál es la intuición detrás de no exponentes de números enteros/poderes

Question

A considerar algunos de los $a \in \mathbb{R}$$x \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{N}$.

Hay cierta intuición de ser tenido por el número de $a^x$?

Por ejemplo, la intuición de $a^2$ es obvia; es $a*a$ que puedo pensar con los objetos del mundo real, tales como las manzanas (al $a \in \mathbb{N}$). ¿Qué acerca de la $a^{1.9}$?

Answer 1

Después de haber definido positivo exponentes de números enteros, si desea que la propiedad $$a^m \cdot a^n= a^{m+n}$$ to continue to hold, then you must define $a^0=1$ and $^{- n} = 1/a^n$ for integer $n$. This takes care of all integers. Then, if you want the property $$a^{mn} = (a^m)^n$$ to continue to hold, you must define $a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p}$ (for positive real $$, and integers $p$ and $q$, $q \ne 0$). This takes care of all rational numbers. And then, if you want the function $^x$ to be continuous from $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, sólo hay una extensión.

Answer 2

Otra intuición de la siguiente manera a partir de la siguiente fórmula: $$x^{\,y} = e^{\;y\log x}$$ (con las debidas restricciones, por supuesto).