Cómo probar esto de la desigualdad de la $n$-ésima derivada: $\left|\frac{d^n}{dx^n}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\right|\leq \frac1n$?

Question

Es fácil ver que $\frac{d^n(\sin x)}{dx^n}=\sin \left(x+\frac{\pi n}{2}\right)$, por lo que la siguiente desigualdad se tiene: $$\left|\frac{d^n(\sin x)}{dx^n}\right|=\left|\sin \left(x+\frac{\pi n}{2}\right)\right|\leq 1.$$ Estoy interesado en probar una similar de la desigualdad de la función $\frac{\sin x}{x}$. Sospecho que para todos los $n$ $$\left|\frac{d^n}{dx^n}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\right|\leq \frac1n.$$ Lamentablemente, no conozco a ningún bonita expresión para esto $n$-ésima derivada que podría ayudar. Voy a estar agradecido por todas las sugerencias útiles.

Answer 1

Una sugerencia:

$${\sin x\over x}=\int_0^1\cos(t\,x)\ dt\ .$$