son todos $n!$ ($n>3$) la diferencia de dos cuadrados?

Question

Para los valores pequeños de n he podido comprobar, parece que por $n>3$, existen números enteros $x,y$ s.t. $n! = x^2 - y^2$. Por ejemplo ..

$4! = 5^2 - 1^2$

$5! = 11^2 - 1^2$

$6! = 27^2 - 3^2$

$7! = 71^2 - 1^2$

$8! = 201^2 - 9^2$

$9! = 603^2 - 27^2$

$10! = 1905^2 - 15^2$

$11! = 6318^2 - 18^2$

$12! = 21888^2 - 288^2$

En la mayoría de los casos anteriores, el valor de $x$ valor es simplemente el siguiente entero más grande que $\sqrt{n!}$, a pesar de que a $n=12$ y $n=17$ es el siguiente. Con las herramientas a la mano sólo he sido capaz de comprobar esto en cuanto a $n=17$.

Espero que probablemente hay ya un nombre para esto, pero no saber que nombre, google venía seco.

Answer 1

Si $n >3$, entonces $n!$ es divisible por $4$. Por lo que $n!=4k=(2)(2k)$ para algún entero $k$. Nota ahora que $$4k=(k+1)^2-(k-1)^2.$$ Si $n$ es grande, hay muchas representaciones de $n!$ como diferencia de dos cuadrados. Para dejar $2a$ y $2b$ ser cualquiera de los dos números cuyo producto es de $n!$. Entonces $$n!=4ab=(a+b)^2-(a-b)^2.$$

Comentario: Vamos a $a$ ser un extraño entero. Entonces $+1$ y $a-1$ son aún, y por lo tanto $(a+1)/2$ y $(a-1)/2$ son números enteros. Tenemos $$a=\left(\frac{a+1}{2}\right)^2-\left(\frac {- 1}{2}\right)^2,$$ así que $a$ es una diferencia de dos cuadrados.

Si $a$ es divisible por $4$, el argumento que dio de arriba muestra que $a$ es una diferencia de dos cuadrados.

Si $a$ es, incluso, pero no divisible por $4$, entonces $a$ es no una diferencia de dos cuadrados. Para una diferencia de dos cuadrados es divisible por $4$, y una diferencia de dos impares plazas es divisible por $8$.