Encontrar el límite de $ \lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2} $

Question

Necesito para evaluar el límite sin utilizar la regla de L'Hospital.

$$\Grande \lim_{x \a 7} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2} $$

Answer 1

Si usted está autorizado a utilizar el binomio de expansión, establezca $y=x-7$ y examinar a la primera orden$$\frac {3\sqrt {1+\frac y9}-3\sqrt[3]{1+\frac y{27}}}{2\sqrt[4]{1+\frac y{16}}-2}=\frac {\frac 32\cdot\frac y9-\frac 33\cdot\frac y{27}}{\frac 24\cdot\frac y{16}}=\frac {112}{27}$$

Answer 2

Aquí hay otra solución, no utilizar la serie de Taylor, pero basado en la multiplicación por conjugados. Quería ver si iba a funcionar. Nota: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

por lo que $$\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}=\frac{\sqrt{(x+2)^3}-(x+20)}{x+2+ \sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+20}+\sqrt[3]{(x+20)^2}} $$y

$$\sqrt{(x+2)^3}-(x+20)=\frac{(x+2)^3-(x+20)^2}{\sqrt{(x+2)^3}+(x+20)}$$ y $$(x+2)^3-(x+20)^2=(x-7)(x^2+12x+56)$$

Para el denominador tenemos

$$\sqrt[4]{x+9}-2=\frac{\sqrt{x+9}-4}{\sqrt[4]{x+9}+2} =\frac{x-7}{(\sqrt[4]{x+9}+2)(\sqrt{x+9}+4)} $$

Así que,todos juntos,

$$\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2} =\frac{(x^2+12x+56)(\sqrt[4]{x+9}+2)(\sqrt{x+9}+4) }{(x+2+ \sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+20}+\sqrt[3]{(x+20)^2})(\sqrt{(x+2)^3}+(x+20))}$$

Ahora si sustituye $x=7$ obtener $\frac{112}{27}$, al igual que las otras respuestas.

Answer 3

Debido a $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)=a^4-b^4$, e $\lim_{x\to 7}a=\lim_{x\to 7}b=2$, podemos reescribir como

$$\lim_{x\to 7}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}=\lim_{x\to 7}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{(x+9)-16}(2+2)(2^2+2^2)$$

$$=32\lim_{x\to 7}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{x-7}$$

Debido a $(a-b)(a+b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)=a^6-b^6$, y también se $\lim_{x\to 7}a=\lim_{x\to 7}b=3$, podemos reescribir como

$$32\lim_{x\to 7}\frac{(x+2)^3-(x+20)^2}{x-7}\frac{1}{(3+3)(3^2-3\cdot 3+3^2)(3^2+3\cdot 3+3^2)}$$

$$=\frac{32}{1458}\lim_{x\to 7}\frac{x^3+5x^2-28x-392}{x-7}=\frac{32}{1458}\lim_{x\to 7}x^2+12x+56=\frac{32}{1458}(189)=\frac{112}{27}$$

Answer 4

Lo siento para agregar una segunda respuesta, no upvote si no te gusta, pero esta respuesta es diferente de la de mi primera y es esencialmente el mismo, como algunas de las otras respuestas, pero me quería apuntar una formulación diferente que es un poco largo para un comentario.

Uno puede utilizar el límite $$\lim\limits_{y \to 0} \frac{(y+k)^{\alpha}-k^{\alpha}}{y}=\alpha k^{\alpha -1}$$

luego, con la sustitución, $y=x-7$ podemos escribir la expresión como

$$\frac{\left( \frac{\sqrt{y+9}-3}{y} \right) -\left( \frac{\sqrt[3]{y+27}-3}{y} \right)}{\frac{\sqrt[4]{y+16}-2}{y} }$$

y este da,

$$\frac{\frac{1}{2}9^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}27^{-\frac{2}{3}} }{\frac{1}{4}16^{-\frac{3}{4}}}=\frac{112}{27}$$

Answer 5

Dejando $x = 7 + h$, entonces nos encontramos con: $$\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{h+9} - \sqrt[3]{h+27}}{\sqrt[4]{h+16} - 2} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{3\left(1+\dfrac{h}{18}\right) - 3\left(1+\dfrac{h}{81}\right)}{2\left(1+\dfrac{h}{64}\right) - 2} = \dfrac{112}{27},$$

donde $(1+h)^{\alpha} \sim_0 1 + \alpha h$.