Usando el teorema de los Residuos para evaluar $ \int_0^\pi \sin^{2n}\theta\, d\theta $

Question

puede usted por favor me guía en la evaluación de esta integral usando el teorema de los residuos y el teorema del binomio $$ \int_0^\pi \sin^{2n}\theta\, d\theta $$ para $n = 1,2,3$

Honestamente, yo no sé ni por dónde empezar, ya que no tiene la singularidad.

Y lo que también es correcto contorno para esto?

Gracias de antemano y más poder.

Answer 1

Deje $z=e^{i \theta}$,$d\theta=dz/(i z)$$\sin{\theta} = (z-1/z)/(2 i)$. Entonces la integral se convierte en

$$\frac12\frac{-i}{(2 i)^{2 n}} \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z} \left( z-z^{-1}\right)^{2 n} =\frac12 \frac{-i}{(2 i)^{2 n}} \oint_{|z|=1} dz \frac{(z^2-1)^{2 n}}{z^{2 n+1}}$$

Como usted puede ver, usted tiene un polo de orden $2 n+1$ en el integrando. Para aplicar el Teorema de los residuos, es necesario evaluar el $i 2 \pi$ veces el residuo en la pole en $z=0$, que es

$$\frac{\pi}{(2 i)^{2 n}} \frac{1}{(2 n)!} \left[\frac{d^{2 n}}{dz^{2 n}}\left ( z^2-1\right)^{2 n}\right]_{z=0}$$

Ahora, por Rodrigues de la fórmula para los polinomios de Legendre, la última expresión es

$$\left[\frac{d^{2 n}}{dz^{2 n}}\left ( z^2-1\right)^{2 n}\right]_{z=0} = 2^{2 n} (2n)! P_n(0)$$

ANEXO

También podemos utilizar el teorema del binomio para extraer una expresión explícita para el residuo. Tenga en cuenta que

$$\left ( z^2-1\right)^{2 n} = \sum_{k=0}^{2 n} \binom{2 n}{k} z^{2 k} (-1)^k$$

Tomando el $2 n$th derivados y establecimiento $z=0$ deja sólo el $n$th término en la suma, por lo que tenemos

$$\left[\frac{d^{2 n}}{dz^{2 n}}\left ( z^2-1\right)^{2 n}\right]_{z=0} = (-1)^n \frac{(2 n)!^2}{(n!)^2}$$

Por lo tanto, la integral es

$$\frac{\pi}{2^{2 n}} \binom{2 n}{n}$$

Answer 2

Podemos utilizar esta respuesta, con $a=2n$$b=0$, para obtener $$ \begin{align} \int_0^{\pi}\sin^{2n}(x)\,\mathrm{d}x &=2\int_0^{\pi/2}\sin^{2n}(x)\,\mathrm{d}x\\ &=2\int_0^{\pi/2}\cos^{2n}(x)\,\mathrm{d}x\\ &=2\cdot\frac{\pi2^{-2n-1}\Gamma(2n+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(n+1)}\\ &=\frac\pi{4^n}\binom{2n}{n} \end{align} $$

Answer 3

Aunque esto no uso el contorno de la integración, se puede utilizar $\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ y el teorema del binomio para obtener $$ \begin{align} \int_0^\pi\sin^{2n}(x)\,\mathrm{d}x &=\frac12\int_0^{2\pi}\sin^{2n}(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\frac12\left(-\frac14\right)^n\int_0^{2\pi}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)^{2n}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac12\left(-\frac14\right)^n\int_0^{2\pi}\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}(-1)^ke^{2i(2n-k)x}e^{-ikx}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac12\left(-\frac14\right)^n\binom{2n}{n}(-1)^n2\pi\\ &=\frac\pi{4^n}\binom{2n}{n} \end{align} $$