Cómo probar estos dos límites de $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{n}$ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_{n}}{n}$ existen

Question

Suponga que $$\lim_{n\to\infty}(a_{n+2}-a_{n})=A$$ mostrar que

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{n}$ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}-a_{n}}{n}$ existen y encontrar estos límites.

tal vez este problema tienen algunos de los métodos, Gracias.

desde $$\lim_{n\to\infty}(a_{n+2}-a_{n})=A$$ de modo que existe $N$, y para $\forall \varepsilon>0$, $$|a_{n+2}-a_{n}-A|\le\varepsilon$$

Answer 1

Es que para cada $\varepsilon>0$ existe una $N_0$ tal que $n>N_0\implies$ $|a_{n+2}-a_n-A|<\varepsilon\implies a_n+A-\varepsilon<a_{n+2}<a_n+A+\varepsilon $

$a_{N}+\frac{(n-2-N')}{2}-\frac{(n-2-N')}{2}\varepsilon <a_{n}<a_{N}+\frac{(n-2-N')} {2}+\frac{(n-2-N')}{2}\varepsilon \implica\\ \frac{a_{N}}{n}+\frac{A}{2}-\frac{(2+N')}{2n}\cdot A-\varepsilon+\frac{(2+N')}{2n}\varepsilon<\frac{a_n}{n}<\frac{a_{N'}}{n}+\frac{A}{2}-\frac{(2+N')}{2n}\cdot A+\varepsilon-\frac{(2+N')}{2n}\varepsilon \implica \\ \boxed{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\frac{a_n}{n}}=\frac{A}{2}}$

Donde $N'$ $N_0$ cuando ambos $n$ $N_0$ tienen la misma paridad y $N_0+1$ lo contrario.

Del mismo modo, la formación de los límites superior e inferior para $a_n-a_{n-1}$ que puede llegar a $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_n-a_{n-1}}{n}}=0$

Answer 2

Si $(c_N)_{N\geqslant 1}$ es una secuencia de números reales convergentes a$l$,$N^{-1}\sum_{j=1}^Nc_j\to l$. Con $c_N=a_{2N}$,$c_{n+1}-c_n\to 0$, por lo tanto $\frac{a_{2n}}{2n}\to A/2$. Con $c_N=a_{2N+1}$, obtenemos que $\frac{a_{2n+1}}{2n+1}\to A/2$.

Answer 3

Sugerencia: usar la identidad de la especie $$ d_n= a_{n+1} -a_{n} = a_{n+1}-a_{n-1}+a_{n-2} -a_{n} +a_{n-1}-a_{n-2} = a_{n+1}-a_{n-1}+a_{n-2} -a_{n} + d_{n-2} $$

Respuestas: $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n/n = A/2$ $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_{n+1}-a_n)/n=0$

Ejemplo de un cheque: tome $a_n=nA/2$.