Cálculo Pregunta: $\lim_{x \rightarrow 0}\sin(x)\ln{\sin{x}}$

Question

Estoy teniendo problemas para calcular

$$\lim_{x \rightarrow 0}\sin(x)\ln{\sin{x}}$$

Traté de encontrar este límite de uso de Wolfram Alpha y el resultado es 0, pero no sé cómo llegar a este 0.

Answer 1

Primero debemos convertir a un cociente:

$$\lim_{x \rightarrow 0}{\sin{x}\ln{\sin{x}}}$$

Y ahora usamos la regla de l'Hospital:

$$\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\ln{\sin{x}}}{\frac{1}{\sin{x}}}}$$

...y ahora derivar:

$$\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{(\ln{\sin{x}})'}{(\frac{1}{\sin{x}})'}}$$ $$\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\frac{1}{\sin{x}}\cos{x}}{-\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}}}}$$ $$\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\cot{x}}{-\frac{\cot{x}}{\sin{x}}}}$$

$$\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{1}{-\frac{1}{\sin{x}}}}$$ $$\lim_{x \rightarrow 0}{-\sin{x}}$$

...que es trivialmente $\underline{\underline{0}}$. Q. E. D.

Answer 2

Si usted creer/saber $\lim_{x\rightarrow0} x\log(x)=0$ y $\lim_{x\rightarrow0} \frac{\sin(x)}{x}=1$:$$\sin(x)\log(\sin(x))=\frac{\sin(x)}{x}x\log(x\frac{\sin(x)}{x})=\frac{\sin(x)}{x}(x\log(x)+x\log(\frac{\sin(x)}{x}))$$

Answer 3

Vamos $$ I=\lim_{x\to0}\sin (x)\ln\sin (x), $$ después multiplica $I$ $\dfrac{\sin (x)}{\sin (x)}$ de rendimiento $$ I=\lim_{x\to0}\dfrac{\sin^2 (x)\ln\sin (x)}{\sin (x)}. $$ Ahora vamos a utilizar la regla de L'Hôpital y obtenemos $$ \begin{align} I&=\lim_{x\to0}\dfrac{2\sin (x)\cos(x)\ln\sin (x)}{\cos(x)}-\lim_{x\to0}\dfrac{\sin^2 (x)\cdot\dfrac{\cos(x)}{\sin (x)}}{\cos(x)}\\ &=2I-\lim_{x\to0}\sin(x)\\ I&=\lim_{x\to0}\sin(x)\\ &=0. \end{align} $$

Answer 4

Una más elemental argumento: $\sin(x)\ln\sin(x)=\ln(\sin(x)^{\sin x})$ $\ln t$ es continua en a $t=1$. Aquí uno sólo utiliza el hecho de que $y^y$ tiende a $1$ al $y$ tiende a $0$.

Answer 5

Hacer una sustitución. Establecimiento $u = \sin x$ (y tomando nota de la continuidad de $\sin x$), tenemos $$ \lim_{x \to 0} \sin(x)\ln(\sin(x)) = \lim_{u \a \sin(0)}u \,\ln u = \lim_{u \to 0}u \,\ln u $$ Este es un problema estándar generalmente se realiza utilizando la regla de L'Hôpital.