Sé que si $C \subseteq [0,1]$ es incontable, entonces existe $a \in (0,1)$ tal que $C \cap [a,1]$ es incontable. ¿Sigue siendo cierto para cualquier conjunto infinito? Es decir, si $C \subseteq [0,1]$ es infinito, ¿existe un $a \in (0,1)$ tal que $C \cap [a,1]$ ¿es infinito?
$\{\frac 1 n\}$ es el arquetipo de una secuencia convergente, por lo que todo el mundo piensa en ella.
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No estoy seguro de entender su pregunta, pero $[0,1]\cap [1,2]=\{1\}$ es finito a pesar de que ambos son incontablemente infinitos...
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[1,2] no es un conjunto válido aquí. Cualquier conjunto debe estar dentro de [0,1]
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Por interés, ¿la prueba de esto tiene que usar (alguna versión de) el Axioma de Elección, o hay una prueba más fuerte que decir, "supongamos que todas las intersecciones son contables, entonces $C$ es una unión contable de conjuntos contables (es decir, la unión de todas esas intersecciones para alguna secuencia de $a$ tendente a $0$ y posiblemente el conjunto $\{0\}$ ) y por tanto es contable?". En esa demostración es obvio por qué se rompe sustituyendo "incontable" por "infinito", porque una unión contable de conjuntos finitos no tiene por qué ser finita.
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El título no se corresponde con la pregunta.