Cómo visualizar $1$ -formas y $p$ -¿Formas?

Question

Tengo problemas para entender la forma común de visualizar las formas únicas.

Ejemplo de visualización: En Wikipedia y en varios libros de textos de matemáticas y física, me he encontrado con visualizaciones como ésta:

Lo que la imagen parece representar: Estas imágenes implican una serie de planos con un vector que los "perfora". El número de planos perforados corresponde al número asignado al vector. Se trata, pues, de un mapa de  $\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$  de tal manera que introduce un vector y da como resultado un número.

Lo que no entiendo: los vectores suelen describirse por su dirección y magnitud. Así que no entiendo cómo encaja aquí la noción de orientación cuando hablamos de una serie de planos. Un vector es un objeto único, por lo que tener dirección y magnitud tiene sentido. Pero, ¿cómo puede tener una dirección una serie de planos?

Observación: Recientemente he estado leyendo sobre las relaciones de equivalencia, las clases de equivalencia y la orientabilidad. ¿Son estos conceptos útiles para definir una forma y  $p$ -¿Formas?

Answer 1

Esta imagen para $1$ -formas está estrechamente relacionada con la imagen $0$ -formas -es decir, funciones ordinarias- en términos de sus curvas de nivel; es esencialmente la versión infinitesimal de un gráfico de contorno.

Al seguir una curva a lo largo de un gráfico de contorno, podemos calcular cuánto cambia una función contando cuántas curvas de nivel cruza y en qué dirección (es decir, del lado pequeño al grande o viceversa).

La imagen que has dibujado para un $1$ -forma es esencialmente la misma: los planos son las curvas de nivel, y su acción sobre un vector está determinada por cuántos planos atraviesa y en qué dirección.

OMI, tratar de llevar esta imagen a formas más altas en tres dimensiones significa que $2$ -Las formas deben representarse como líneas y no como planos. Esta idea también debería ser familiar, con el nombre de "línea de flujo". Del mismo modo, una $2$ -debe representarse como una región bidimensional, y el valor de la combinación del $2$ -con el $2$ -vector es algo así como contar cuántas líneas de flujo pasan por la superficie.

Y de manera similar, $3$ -serían sólo puntos, lo que se corresponde muy bien con la idea de que $3$ -formas representan la densidad. La combinación de un $3$ -con un $3$ -vector debe parecerse a contar cuántos puntos hay dentro del volumen, y elegir el signo en función de la orientación del volumen y la orientación en los puntos. (una orientación en un punto es simplemente elegir etiquetarlo como positivo o negativo)

Answer 2

Este vídeo de David Metzler me ayudó a comprender mucho mejor las formas diferenciales. Creo que ahora puedo resolver, al menos parcialmente, mi confusión sobre la visualización de las mismas. Espero que esta respuesta ayude a otras personas con la misma confusión. Por favor, edite esta respuesta ya que estoy seguro de que cometeré errores.

Para empezar, un $p$ -es sólo un mapa de $\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ . Esta es una definición sencilla. Pero al visualizarla era donde tenía problemas.

Consideremos esta imagen de dos formas 1 y su combinación lineal:

DIAGRAMA $1$

¿Cómo es que una forma 1 se "come" un vector? Es simplemente el número de planos que atraviesa un vector. Así que para la imagen de la izquierda, nuestra forma 1 es $\alpha$ . Ahora, introduzcamos los vectores en $\alpha$ . $w$ rinde $0$ porque no atraviesa ninguna. Si imaginamos los planos azules cada uno como un $xy$ avión, $w$ se encuentra en el plano y por lo tanto no se extiende a lo largo del $z$ dimensión. En cambio, aunque $u$ y $v$ son vectores muy diferentes, dan el mismo valor porque el número de planos que atraviesan es el mismo. Piensa en ello. Volviendo a mi $x,y,z$ coordenadas, el $z$ componente de $v$ es la misma magnitud de $u$ . Por lo tanto, como esta es la única parte del vector que $\alpha$ se preocupa, escupe el mismo valor para ambos.

Una lógica similar se aplica al diagrama del medio. Ahora tenemos una forma 1 $\beta$ que ahora equivale a $zy$ planos a lo largo de la $x$ -eje. Observe los vectores $u$ , $v$ y $w$ son los mismos. Así que nada ha cambiado en su definición. Es porque estamos utilizando una forma 1 diferente que ahora obtenemos resultados diferentes. En este caso, $\beta$ sólo se come las componentes de los vectores que se encuentran a lo largo de mi $x$ -eje. Dado que $w$ se encuentra enteramente a lo largo de la $x$ -(y dada la escala de las imágenes), obtenemos 2,5. Pero fíjese en que ni $u$ ni $v$ tienen componentes en el $x$ dirección. Por lo tanto, cuando los introducimos en $\beta$ obtenemos $0$ porque no perforan ningún plano.

Tomémonos un tiempo y reflexionemos un momento. Hasta ahora, hemos visto a través de los diagramas de la izquierda y del medio cómo una forma 1 se "come" un vector y cómo esto se relaciona con nuestra comprensión natural e intuitiva de los componentes. Consideremos ahora el diagrama de la derecha. Pero primero, permíteme introducir las 2 formas.

Considere esta imagen de una 2 forma:

DIAGRAMA $2$

Aquí es donde me confundí. En el centro del diagrama 3 se ve esta imagen de una forma de dos. Fíjate en que son sólo dos conjuntos de planos consecutivos que se cruzan entre sí. Pero aparentemente no se suman ni nada parecido. Las operaciones vectoriales como la multiplicación por escalares y la adición de formas de uno corresponden al diagrama de la derecha del Diagrama 2. Pero los planos del diagrama central del Diagrama 2 no se suman/combinan de esa manera. De lo contrario, sólo obtendríamos un diagrama como el de más a la derecha del Diagrama 2. En cambio, constituyen un nuevo objeto: una 2 forma. Ahora tenemos una nueva operación que nos permite definir combinaciones de formas únicas llamadas producto cuña $\wedge$ Sea lo que sea lo que signifique. Pero ahora podemos ver, al menos, que hay una diferencia entre añadir simplemente formas únicas y combinarlas para hacer una forma doble. Ahora, el diagrama inferior del Diagrama 2 es perfecto. Combinando tres formas 1, obtenemos una forma 3. Pero no las combinamos en el sentido de los vectores. Lo hacemos utilizando esta operación de producto cuña.

NOTA: ¿Puede alguien limpiar este último párrafo?

En retrospectiva, esto parece obvio, pero no lo era antes de ver los vídeos.