Resolver el problema de valor inicial dado.Necesito de su ayuda.

Question

Resolver el $$x'=tx^2+x-t^3\,,\quad x\left(\, 2\,\right)=1$$

Necesito su solución exacta no de una solución numérica.De hecho tengo que comparar la solución exacta con la solución numérica.Lo he probado, pero soy incapaz de resolver el anterior día.Necesito de su amable ayuda.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia:

Deje $x=-\dfrac{u'}{tu}$ ,

A continuación, $x'=-\dfrac{u''}{tu}+\dfrac{u'}{t^2u}+\dfrac{(u')^2}{tu^2}$

$\therefore-\dfrac{u''}{tu}+\dfrac{u'}{t^2u}+\dfrac{(u')^2}{tu^2}=\dfrac{(u')^2}{tu^2}-\dfrac{u'}{tu}-t^3$

$\dfrac{u''}{tu}-\dfrac{u'}{tu}-\dfrac{u'}{t^2u}-t^3=0$

$tu''-(t+1)u'-t^5u=0$

Deje $u=e^{at^3}v$ ,

A continuación, $u'=e^{at^3}v'+3at^2e^{at^3}v$

$u''=e^{at^3}v''+3at^2e^{at^3}v'+3at^2e^{at^3}v'+(9a^2t^4+6at)e^{at^3}v=e^{at^3}v''+6at^2e^{at^3}v'+(9a^2t^4+6at)e^{at^3}v$

$\therefore t(e^{at^3}v''+6at^2e^{at^3}v'+(9a^2t^4+6at)e^{at^3}v)-(t+1)(e^{at^3}v'+3at^2e^{at^3}v)-t^5e^{at^3}v=0$

$t(v''+6at^2v'+(9a^2t^4+6at)v)-(t+1)(v'+3at^2v)-t^5v=0$

$tv''+(6at^3-t-1)v'+((9a^2-1)t^5-3at^2(t-1))v=0$

Elija $a=\dfrac{1}{3}$ , la educación a distancia se convierte en

$tv''+(2t^3-t-1)v'-t^2(t-1)v=0$

Deje $v=e^{bt^2}w$ ,

A continuación, $v'=e^{bt^2}w'+2bte^{bt^2}w$

$v''=e^{bt^2}w''+2bte^{bt^2}w'+2bte^{bt^2}w'+(4b^2t^2+2b)e^{bt^2}w=e^{bt^2}w''+4bte^{bt^2}w'+(4b^2t^2+2b)e^{bt^2}w$

$\therefore t(e^{bt^2}w''+4bte^{bt^2}w'+(4b^2t^2+2b)e^{bt^2}w)+(2t^3-t-1)(e^{bt^2}w'+2bte^{bt^2}w)-t^2(t-1)e^{bt^2}w=0$

$t(w''+4btw'+(4b^2t^2+2b)w)+(2t^3-t-1)(w'+2btw)-t^2(t-1)w=0$

$tw''+(2t^3+4bt^2-t-1)w'+(4bt^4+(4b^2-1)t^3-(2b-1)t^2)w=0$

Elija $b=\dfrac{1}{2}$ , la educación a distancia se convierte en

$tw''+(2t^3+2t^2-t-1)w'+2t^4w=0$