Cómo desarrollar una sensación intuitiva de los espacios

Question

Soy un físico que actualmente está profundizando en lo que yo llamaría matemáticas más "duras" (por ejemplo, FEM y teoría de control). De vez en cuando, me encuentro con varios espacios, como los espacios de vectores, los espacios Hilbert, los espacios Hardy, los espacios Banach, los espacios topológicos, etc. Puedo leer la definición, y a veces la entiendo, otras veces no (incluso los artículos de la wikipedia pueden ser a veces muy técnicos).

Pero lo más importante es que raramente tengo una comprensión intuitiva de lo que estos espacios representan realmente. ¿Por qué son importantes? ¿Qué los hace diferentes de otro espacio? ¿Debería importarme realmente?

¿Hay alguna buena fuente (en línea) o trucos del oficio para entender las cosas importantes de un espacio recién encontrado? No creo que nunca profundice lo suficiente en esto como para ser realmente competente en las matemáticas subyacentes, pero me encantaría ser capaz de distinguir la importancia y el significado de estos espacios...

He puesto algunas etiquetas semisensoriales en esta pregunta, pero cualquiera con más conocimientos es bienvenido a cambiar las etiquetas por algo más útil.

Answer 1

Soy un estudiante de ingeniería/física pero también he tenido que enseñarme a mí mismo sobre ciertos tipos de espacios. Creo que los espacios más importantes que hay que aprender primero para orientarse son los topológicos, métricos y vectoriales. Muchos de los espacios con los que me he encontrado son casos especiales o combinaciones de ellos.

Los espacios topológicos/métricos son más analítica (preocupados por la cercanía/conexión de los puntos) mientras que los espacios vectoriales son más algebraico (que se refiere a la combinación de elementos junto con las operaciones). Muchos espacios importantes ( $ \mathbb {R}^n$ por ejemplo), tienen tanto aspectos analíticos como algebraicos.

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Si vale algo, esta es mi intuición para ellos:

Espacios topológicos están hechas de colecciones de puntos llamados juegos abiertos que son como "parches" superpuestos de puntos que cubren el espacio. Funciones continuas son mapas entre espacios topológicos que preservan conjuntos abiertos en el sentido de que los conjuntos abiertos pueden ser estirados y deformados sin ser desgarrados.

Así es como se ve un mapa continuo entre dos espacios topológicos, siendo la imagen inversa un conjunto abierto también un conjunto abierto:

Espacios métricos son colecciones de puntos con una función de distancia llamada métrico definidos en ellos de manera que dos puntos cualesquiera tengan una distancia entre ellos. Resulta que todos los espacios métricos son también espacios topológicos ya que podemos usar la métrica para definir conjuntos abiertos como "bolas" de varios radios alrededor de un punto dado.

Aquí hay ejemplos de diferentes funciones métricas que pueden ser definidas en $ \mathbb {R}^2$ y sus correspondientes "bolas" de radio $L$ :

Espacios vectoriales son colecciones de elementos llamados vectores que pueden combinarse entre sí mediante adición y escalado para crear combinaciones lineales . Mapas lineales son funciones entre espacios vectoriales que preservan las combinaciones lineales (es decir, la cartografía de una combinación lineal de vectores es igual a la combinación lineal de la cartografía de esos vectores). Los espacios vectoriales introducen la idea de un dimensión que es el número de vectores necesarios para abarcar el espacio.

Uno de mis ejemplos favoritos de espacios vectoriales (específicamente los espacios Hilbert) es el uso de la Series de Fourier para construir funciones periódicas a partir de combinaciones lineales de sinusoides:

Answer 2

Una nota rápida: Un "espacio" es un conjunto arbitrario de "cosas" pero con una estructura o propiedad adicional. Un espacio métrico es un conjunto donde puedes medir distancias entre dos puntos, pero tienes que conocer las propiedades de la distancia porque pueden complicarse arbitrariamente (por ejemplo, la distancia p-ádica).

Así que los ejemplos o explicaciones de otros pueden ayudar, pero desde mi experiencia sólo tengo una buena intuición cuando he trabajado lo suficiente con una cierta definición. (Lo que significa mucho trabajo técnico.) Pero si quieres entender lo que significan esas definiciones, te sugiero que mires tantos ejemplos diferentes como puedas y los compares. Primero los ejemplos "obvios" para entrar en ello y luego paso a paso más ejemplos patológicos. Tenga siempre presente que la misma estructura puede tener propiedades muy diferentes. Por ejemplo. $ \mathbb R$ puede considerarse como un grupo, anillo, campo, espacio vectorial, espacio normalizado, espacio métrico, espacio banacal, espacio hilbert, etc. Y a menudo los grandes beneficios provienen del uso de diferentes propiedades combinadas.

Ejemplos de espacios vectoriales Espacios vectoriales (Donde se puede "sumar", "restar" y "estirar"): $ \mathbb R^3$ , $ \mathbb R^n$ , $ \mathbb R$ Un conjunto de polinomios hasta un cierto grado sobre $ \mathbb R$ o sobre $ \mathbb F_q$ , $L_p$ espacios, etc.

Answer 3

Diría que es casi imposible tener una buena sensación de varios tipos de espacios con sólo leer las definiciones. Históricamente, esas nociones no son desarrolladas inmediatamente por alguien en un sueño o algo así. En cambio, esos conceptos se formulan gradualmente. El concepto de un múltiple es un ejemplo directo.

Entonces, ¿cómo se formulan estos conceptos? Yo diría que un ingrediente clave son los ejemplos. Primero, la gente está interesada en una clase de objetos que parecen compartir alguna propiedad común. Luego, por inducción, analogía, observación, ensayo y error, etc., los conceptos finalmente llegan a existir en la forma más fina que conocemos. Por ejemplo, el concepto de una función diferenciable puede ser común en nuestra época. Pero, hay una vez que la gente pensó que toda función continua es diferenciable.

Sólo familiarízate con más y más ejemplos de esos conceptos a los que eres nuevo hasta que sientas que son naturales.

Answer 4

Esto iba a ser un comentario pero resultó ser demasiado largo:

La forma en que lo veo es que un espacio es sólo un conjunto que tiene algunas propiedades extra que le dan cierta estructura. Por ejemplo, el $L^p$ El espacio (Lebesgue) es el conjunto de funciones que satisfacen $\|f\|_p \equiv \left ({ \int |f|^pdx} \right )^{ \frac {1}{p}}< \infty $ . Puedes pensar en esto como una bolsa de funciones, todas satisfaciendo esta propiedad.

Pero tiene algunas propiedades extra - porque $L^p$ es un ejemplo de un espacio de medida, se puede asignar un número no negativo a cada elemento del conjunto, que es sólo $ \int |f|^pdx$ . De esta manera, podrías clasificar cada función. Podrías imaginarte una función con una gran $ \int |f|^pdx$ para estar en la "cima" del espacio, y aquellos con una baja $ \int |f|^pdx$ para estar en el fondo. Así que ahora no es sólo un conjunto, sino un conjunto con alguna estructura, o un espacio.

Además, no llamaría a la teoría de control o a los métodos de elementos finitos "matemáticas duras", son muy aplicadas, y están más en el dominio de los ingenieros. Pero tienes razón, la teoría de control definitivamente usa muchos ejemplos de espacios, como los espacios vectoriales, los espacios Hardy y los espacios Lebesgue.

Answer 5

No soy un matemático, pero a veces obtener una respuesta de un no-profesional puede ayudar con la intuición, así que aquí va.

Tal y como yo lo veo, los espacios son casas hechas de un conjunto de bloques de construcción que pueden cambiar de forma. Así que toma el ladrillo rectangular más genérico y construye una casa. Luego cambia la forma del ladrillo a otra cosa, digamos un rombo. Entonces toda la casa cambiará de forma en consecuencia. Un espacio puede ser definido como el conjunto de todas las posibles "deformaciones" de la casa.

Para hacer esto más riguroso y general, todas las deformaciones continuas (estiramiento y traslación) de cualquier ladrillo con forma que pueda "azulejar el plano" a otra forma general con todo lo que hay en medio es una intuición más general para un espacio.

Yendo más allá de la generalidad, el ladrillo no necesita ser un ladrillo, puede tener agujeros y cúspides, etc. para construir una casa de aspecto más "intrincado".

Ahora, si regresamos al ejemplo de eigenchris de espacio vectorial y espacio topológico, será más fácil de visualizar.

(lo siento si esto es demasiado lego)