Dar un colectores de Riemann $(M,g)$,$\nabla$ es su conexión.
Supongamos que tenemos dos distribuciones $E$$F$$(M,g)$, que son ortogonales de los complementos de cada uno de los otros en $TM$.Además,se supone que las distribuciones son paralelas,es decir,si dos campos vectoriales $X$,$Y\in E$,a continuación,$ \nabla_{X}Y \in E$.
Muestran que alrededor de cualquier punto de $M$ no es un producto vecindario $U=V_{E} \times V_{F}$ tal que $(U,g)=(V_{E} \times V_{F},g|_{E}+g|_{F})$donde $g|_{E}$ $g|_{F}$ son las restricciones de $g$ a las dos distribuciones.
He probado la especial situación que $dimF=1$ .
Supongamos localmente $E$ se compone de un marco ortonormales $e_{i} 1\leq i \leq n$ ,$F$ consta de una unidad de campo vectorial $e_{n+1}$,el coframe donados por $w^i,w^{n+1}$.
Supongamos $\nabla e_{n+1} = w_{n+1} ^{j}e_j$, luego
$$ w_{n+1} ^{j}(e_{i})=g(\nabla_{e_i} e_{n+1},e_{j}) =-g(\nabla_{e_i} e_{j},e_{n+1})=0 $$
la última ecuación, porque la condición de $E$ es paralelo.
Por lo tanto tenemos: $$w_{n+1} ^{j}=0$$
Por la torsión libre de la ecuación,obtenemos :
$$ dw^{n+1}=w^{i} \wedge w_{i} ^{n+1}=w^{i} \wedge -w_{n+1} ^{i}=0$$
Por el Poincaré del lexema : a nivel Local existe una función de $f$,de tal manera que $$df=w^{n+1}$$
Porque $$\nabla_{e_i} e_{j}-\nabla_{e_j} e_{i}=[e_{i},{e_j}]$$
Por lo tanto $E$ es integrable distribución,por lo que suponemos que en un local de coordenadas $x^{i},x^{n+1}$,$$E=span\{\frac{\partial}{\partial x^{1}}...,\frac{\partial}{\partial x^{n}}\}$$ a continuación,$\partial_{x^{n+1}} f \neq 0$, construimos una transformación :
$$T:(x^{1},...,x^{n},x^{n+1}) \rightarrow (y^{1},...,y^{n},y^{n+1})$$
$$(x^{1},...,x^{n},x^{n+1})\mapsto (x^{1},...,x^{n},f)$$
Por la verificación del Teorema de la Función Inversa,esto es un diffeomorphism ,y $T_{\star} e^{n+1}=\frac{\partial}{\partial y^{n+1}}$,$T_{\star} e^{i}=\frac{\partial}{\partial y^{i}}$
Pick $V_{E}=\{y^{n+1}=0\}$,$V_{F}=\{y^{i}=0\}$,tenemos la respuesta.
Pero no puedo ir a la situación general que $dimV\neq 1$.
Si ustedes me pueden dar algunas sugerencias,agradezco su ayuda
