Encontrar $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}$

Question

Encontrar: $$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}$$

¿Cómo hace uno para no tener ninguna intuición capaz de hacer esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que $n^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{1}{n}\log(n)}$. Desde $\frac{1}{n}\log(n)\to 0$$n\to\infty$, y dado que la función exponencial es continua, tenemos $\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} e^{\frac{1}{n}\log(n)} = e^0 = 1$.

Answer 2

Sugerencias (para trabajar y justificar):

$$\forall\,n\in\Bbb N\;,\;\;\sqrt[n]n\ge 1\implies \sqrt[n]n=1+c_n\;,\;\;c_n\ge 0\implies$$

$$n=(1+c_n)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}c_n^k\ge \frac{n(n-1)}{2}c_n^2\implies c_n\le \sqrt\frac{2}{n-1}\implies c_n\xrightarrow [n\to\infty]{}0\implies$$

$$\sqrt[n]n\xrightarrow[n\to\infty]{}1$$

Answer 3

Paso Uno: $1^1=1$, $2^\frac{1}{2}>1$, supongamos $n>1 \implies n^\frac{1}{n}>1^\frac{1}{n}=1$.

Paso Dos: Definir $\alpha_n=n^\frac{1}{n}-1$. Por la Fórmula Binomial para cada índice $n>2$, $n=(1+\alpha_n)^n=1+n\alpha_n+\frac{n(n-1)}{2}\alpha_n^2+\dots>1+\frac{n(n-1)}{2}\alpha_n^2$, desde $\alpha_n>0$. $n>1+\frac{n(n-1)}{2}\alpha_n^2\implies 1>\frac{n}{2}\alpha_n^2\implies \frac{2}{n}>\alpha_n^2$ y por la comparación lema y puesto que el producto de secuencias convergentes converge al producto de los límites, se puede ver que $\lim_{n \to \infty} \alpha_n=0$.

Answer 4

El AM-GM de la desigualdad es suficiente. Ya tenemos la siguiente telescópica producto: $$ n= 1\cdot\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k}\right)\tag{1}$$ tenemos: $$ 1 = \sqrt[n]{1} \leq \sqrt[n]{n} \leq \frac{n+H_{n-1}}{n} \leq 1+\frac{\log (2n-1)}{n}\tag{2}$$ de: $$ H_{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\leq \sum_{k=1}^{n-1}\log\left(\frac{2k+1}{2k-1}\right)=\log(2n-1).\tag{3}$$