Creo que (casi) todo el mundo está de acuerdo en que Hartshorne Geometría algebraica sigue siendo el mejor.
Entonces, ¿cuál puede ser la segunda mejor? Puede ser un libro, un preprint, una nota de clase en línea, una página web, etc.
Una sugerencia por respuesta, por favor. Además, incluya una explicación de por qué le gusta el libro, o qué lo hace único o útil.
Creo que la Geometría Algebraica es un tema demasiado amplio como para elegir sólo un libro. Tal vez si uno es un principiante, un libro introductorio claro es suficiente, o si la geometría algebraica no es el principal campo de estudio, entonces una referencia autocontenida que trate los temas importantes a fondo es suficiente. Pero hoy en día la geometría algebraica se ha convertido en un campo de estudio tan profundo y amplio que un estudiante de posgrado tiene que centrarse mucho en uno o dos temas, mientras que al mismo tiempo debe ser capaz de utilizar los resultados fundamentales de otros subcampos cercanos. Por lo tanto, considero que el intento de reducir su estudio a un solo libro (además del de Hartshorne) es demasiado duro y poco práctico. Por eso he recopilado los que en mi humilde opinión son los mejores libros para cada etapa y tema de estudio, mis elecciones personales para los mejores libros son entonces:
CLÁSICO: Beltrametti-Carletti-Gallarati-Monti. "Conferencias sobre curvas, superficies y variedades proyectivas" que comienza desde el principio con un estilo geométrico clásico. Muy completo (demuestra Riemann-Roch para las curvas en un lenguaje fácil) y concreto en las construcciones clásicas necesarias para entender las razones de por qué se hacen las cosas como en los libros avanzados puramente algebraicos. Hay muy pocos libros como este y deberían ser imprescindibles para empezar a aprender la materia. (Consulta Revisión de Dolgachev .)
A MITAD DE CAMINO/BAJA DE GRADO: Shafarevich - "Geometría algebraica básica" vol. 1 y 2. Puede que sean los más completos sobre fundamentos de variedades hasta introducir esquemas y geometría compleja, por lo que son muy útiles antes de realizar estudios más abstractos. Pero los problemas son difíciles para muchos principiantes. No demuestran Riemann-Roch (que se hace de forma clásica sin cohomología en la recomendación anterior) así que un curso moderno más ortodoxo sería "Algebraic Geometry, An Introduction" de Perrin, que de hecho introduce la cohomología y demuestra RR.
DE GRADO AVANZADO: Holme - "Un camino real hacia la geometría algebraica" . Este nuevo título es maravilloso: comienza introduciendo las curvas y variedades algebraicas afines y proyectivas y construye la teoría en la primera mitad del libro como la perfecta introducción al capítulo I de Hartshorne.
NOTAS EN LÍNEA: Gathmann - "Geometría algebraica" que se puede encontrar aquí . Unos apuntes increíbles; cortos pero muy completos, tratando incluso los esquemas y la cohomología y demostrando Riemann-Roch e incluso insinuando Hirzebruch-R-R. Es el mejor curso gratuito, en mi opinión, para tener suficiente fondo de geometría algebraica para entender los otros títulos más avanzados y abstractos. Para una aproximación algebraica abstracta, hay un curso online gratuito disponible por el bien hecho nuevas notas largas de R. Vakil .
GRADUADO PARA ALGEBRISTAS Y TEÓRICOS DE LOS NÚMEROS: Liu Qing - "Geometría algebraica y curvas aritméticas" . Es un libro muy completo que incluso introduce algo de álgebra conmutativa necesaria y prepara al lector para aprender geometría aritmética como la conjetura de Mordell, la de Faltings o incluso el Teorema de Fermat-Wiles.
GRADUADO PARA LOS GEÓMETRAS: Griffiths; Harris - "Principios de geometría algebraica" . Con mucho, el mejor para una mente orientada a la geometría compleja. También es útil viniendo de estudios sobre varias variables complejas o geometría diferencial. Desarrolla mucho la geometría algebraica sin tanto álgebra conmutativa y homológica avanzada como los libros modernos tienden a enfatizar.
MEJOR EN LOS ESQUEMAS: Görtz; Wedhorn - Geometría algebraica I, esquemas con ejemplos y ejercicios . Toneladas de material sobre esquemas; más completo que el Libro Rojo de Mumford (Para una alternativa gratuita en línea, compruebe la Geometría Algebraica II de Mumford). notas inéditas sobre los esquemas). Hace un gran trabajo complementando el tratamiento de esquemas de Hartshorne, sobre todo por los ejercicios más resolubles.
DE LICENCIATURA EN CURVAS ALGEBRAICAS: Fulton - "Curvas algebraicas, una introducción a la geometría algebraica" que se puede encontrar aquí . Es un clásico y aunque el sabor es claramente de notas concisas mecanografiadas, es de lejos el libro más corto pero completo sobre las curvas, que sirve como una introducción muy agradable a todo el tema. Hace todo lo necesario para demostrar Riemann-Roch para curvas e introduce muchos conceptos útiles para motivar cursos más avanzados.
GRADUADO EN CURVAS ALGEBRAICAS: Arbarello; Cornalba; Griffiths; Harris - "Geometría de las curvas algebraicas" vol 1 y 2. Este se centra en el lector, por lo que se afirma que hay que trabajar muchos resultados. Así que para algunos es la mejor manera de dominar realmente el tema. Además, el vol. 2 ha aparecido por fin haciendo de los dos enormes volúmenes una referencia completa sobre el tema.
INTRODUCTORIA SOBRE SUPERFICIES ALGEBRAICAS: Beauville - "Superficies algebraicas complejas" . No he encontrado una forma más rápida y sencilla de aprender y clasificar las superficies algebraicas. El bagaje necesario es mínimo en comparación con otros títulos.
AVANZADA SOBRE SUPERFICIES ALGEBRAICAS: Badescu - "Superficies algebraicas" . Excelente referencia completa y avanzada para las superficies. Muy bien hecho e indispensable para aquellos que necesitan un compañero, pero sobre todo una ampliación, del capítulo de Hartshorne.
SOBRE LA TEORÍA DE HODGE Y LA TOPOLOGÍA: Voisin - Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja vols. I y II. El primer volumen puede servir casi como introducción a la geometría compleja y el segundo a su topología. Se están convirtiendo cada vez más en la referencia estándar sobre estos temas, encajando perfectamente entre la geometría algebraica abstracta y la geometría diferencial compleja.
INTRODUCTORIA SOBRE MÓDULOS E INVARIANTES: Mukai - Introducción a los invariantes y a los módulos . Un libro de tapa dura excelente pero extremadamente caro. Cuando Cambridge Press publique una edición en rústica más barata, cualquier estudiante serio de geometría algebraica debería poseer una copia, ya que, de nuevo, es uno de esos títulos que ayudan a motivar y dar las ideas conceptuales necesarias para dar sentido a monografías abstractas como las siguientes.
SOBRE LOS ESPACIOS DE MÓDULOS Y LAS DEFORMACIONES: Hartshorne - "Teoría de la deformación" . El complemento perfecto para el libro principal de Hartshorne, ya que éste no trataba estos temas, y otros libros abordan el tema desde un punto de vista diferente (por ejemplo, orientado a la geometría compleja o a los físicos) de lo que un estudiante de AG del libro de Hartshorne puede querer aprender el tema.
EN LA TEORÍA DE INVARIANTES GEOMÉTRICOS: Mumford; Fogarty; Kirwan - "Teoría geométrica invariante" . Simplemente, sigue siendo el mejor y más completo. Además, el propio Mumford desarrolló el tema. Las alternativas son más conferencias introductorias de Dolgachev.
EN LA TEORÍA DE LA INTERSECCIÓN: Fulton - "Teoría de la intersección" . Es la referencia estándar y además es barata en comparación con otras. Trata todo el material necesario sobre intersecciones para un estudiante serio que vaya más allá del apéndice de Hartshorne; es una buena referencia para el uso del lenguaje de las clases características en geometría algebraica, demostrando Hirzebruch-Riemann-Roch y Grothendieck-Riemann-Roch entre muchos resultados interesantes.
EN LAS SINGULARIDADES: Kollár - Conferencias sobre la resolución de singularidades . Gran exposición, contenidos útiles y ejemplos sobre temas que uno tiene que tratar tarde o temprano. Como complemento fundamental revisa El maravilloso documento de Hauser en el teorema de Hironaka.
SOBRE LA POSITIVIDAD: Lazarsfeld - Positividad en geometría algebraica I: Entorno clásico: Paquetes de líneas y series lineales y Positividad en geometría algebraica II: Positividad para haces vectoriales e ideales multiplicadores . Sorprendentemente bien escrito y único en el tema, resumiendo y reuniendo mucha información, resultados y muchos ejemplos.
INTRODUCTORIA EN VARIEDADES DE MAYOR DIMENSIÓN: Debarre - "Geometría algebraica de dimensión superior" . La principal alternativa a este título es el nuevo libro de Hacon/Kovács ' " Clasificación de las variedades algebraicas de dimensión superior ", que incluye resultados recientes sobre el problema de la clasificación y está pensado como un curso de temas de posgrado.
AVANZADA EN VARIEDADES DE MAYOR DIMENSIÓN: Kollár; Mori - Geometría biracional de las variedades algebraicas . Considerado como más difícil de aprender por algunos estudiantes, se ha convertido en la referencia estándar sobre geometría birracional.
Creo que el mejor "libro de texto" son los apuntes de Ravi Vakil:
Quizás sea un tópico, pero recomiendo EGA (enlaces a los textos completos: I , II , III(1) , III(2) , IV(1) , IV(2) , IV(3) , IV(4) ).
Sé que son 1800 páginas de francés que dan miedo, pero
Me ha resultado bastante gratificante familiarizarme con los contenidos de EGA. Muchos estudiantes de geometría algebraica son capaces de decir con confianza "ese es uno de los ejercicios de Hartshorne, capítulo II, sección 4". Resulta aún más estimulante tener ese tipo de dominio sobre un texto como EGA, que cubre mucho más material con menos hipótesis innecesarias y con mayor claridad. He encontrado este índice combinado para ser útil en esta búsqueda. [ Editar: El índice combinado, por desgracia, parece haber desaparecido. Aquí está una versión web de Hoja de contenidos de la EGA de Mark Haiman .]
Soy fan de La geometría de los esquemas por Eisenbud y Harris. Es una gran introducción conceptual que no desanima a la gente tan rápidamente como Hartshorne. Sin embargo, apenas menciona el concepto de módulo de un esquema, y creo que ignora por completo la cohomología de gavillas.
Liu escribió un buen libro, que está un poco más orientado a la geometría aritmética. (Los últimos capítulos contienen un material muy bonito pero inusual para un texto básico, como la reducción de curvas algebraicas).
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