Probando $2p +1 \mid 2^p + 1$

Question

El siguiente teorema es bien conocido y ya fue demostrado por Lagrange en 1775:

Dejemos que $p \equiv 3 \pmod{4}$ ser primo. $2p+1$ también es primo si y sólo si $2p+1 \mid 2^p - 1$ .

Pero cómo podemos demostrarlo:

Dejemos que $p \equiv 1 \pmod{4}$ ser primo. $2p+1$ también es primo si y sólo si $2p+1 \mid 2^p + 1$ .

Gracias.

EDIT: Gracias a Batominovski, por su gran trabajo y por compartir la prueba con nosotros.

Answer 1

Dejemos que $p$ sea un primo positivo tal que $p\equiv 1\pmod{4}$ . Si $2p+1$ es primo, entonces $$\left(\frac{2}{2p+1}\right)=(-1)^{\frac{(2p+1)^2-1}{8}}=(-1)^{\frac{p(p+1)}{2}}=-1\,.$$ Por lo tanto, $2^p\equiv -1\,\big(\text{mod }(2p+1)\big)$ . Por lo tanto, $2p+1$ divide $2^p+1$ . A la inversa, supongamos ahora que $2p+1$ divide $2^p+1$ . Sea $q$ sea el mayor factor primo de $2p+1$ . Entonces, $2^{2p}\equiv (-1)^2 =1\pmod{q}$ . Por otro lado, $2^{q-1}\equiv 1\pmod{q}$ . Por lo tanto, $2^d\equiv 1\pmod{q}$ , donde $d:=\gcd(q-1,2p)$ . Claramente, $d=2$ o $d=2p$ . Si $d=2$ entonces $q=3$ De ahí que $2p+1=3^r$ para algunos $r\in\mathbb{N}$ . Sin embargo, se puede ver fácilmente que $9\nmid 2^p+1$ De ahí que $r=1$ . Sin embargo, esto significaría $p=1$ una contradicción. Por lo tanto, $d=2p$ . Es decir, $q=2p+1$ lo que significa que $2p+1$ es primo.

P.D. Esta prueba puede utilizarse para tratar el caso en que $p\equiv 3\pmod{4}$ con una ligera modificación (y en realidad es más sencillo).