¿Puede el conjunto de enteros formar un espacio vectorial sobre el campo de los racionales?

Question

Como campo de reales $\mathbb{R}$ puede convertirse en un espacio vectorial sobre el campo de los números complejos $\mathbb{C}$ pero no de la forma habitual. De la misma manera podemos hacer que el anillo de enteros $\mathbb{Z}$ como espacio vectorial el campo de los racionales $\mathbb{Q}$ ? Está claro que si forma un espacio vectorial, entonces $\dim_{\mathbb{Q}}\mathbb{Z}$ será finito. Ahora estoy atascado. Por favor, ayúdenme. Gracias de antemano.

Answer 1

Suponiendo que se quiera realizar la operación de suma habitual en $\mathbb{Z}$ para ser su operación de adición como $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial, entonces no, no es posible que sea un $\mathbb{Q}$ -vectorial. Por ejemplo, tendríamos un escalar $\frac{1}{2}\in\mathbb{Q}$ y un elemento $\mathbf{1}\in\mathbb{Z}$ de nuestro supuesto espacio vectorial (utilizando la negrita para distinguir los elementos de $\mathbb{Z}$ a partir de elementos de $\mathbb{Q}$ ) , por lo que debemos ser capaces de formar su producto $\frac{1}{2}\cdot \mathbf{1}\in\mathbb{Z}$ . Por la distributividad de la multiplicación escalar, $$\mathbf{1}=1\cdot\mathbf{1}=(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2})\cdot \mathbf{1}=(\tfrac{1}{2}\cdot \mathbf{1})+(\tfrac{1}{2}\cdot \mathbf{1})$$ Sin embargo, no hay ningún número entero $\mathbf{n}\in\mathbb{Z}$ tal que $\mathbf{1}=\mathbf{n}+\mathbf{n}$ Por lo tanto, esto es una contradicción.

Si en cambio permitimos una operación de adición arbitraria sobre $\mathbb{Z}$ entonces sí, podemos hacer un $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial, por "transporte de estructura" ( Enlace a Wikipedia ) a través de una biyección, por ejemplo, una biyección $\varphi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ .