¿cuáles son todos los abiertos subgrupos de $(\mathbb{R},+)$

Question

Yo no soy capaz de averiguar lo que son todos los abiertos subgrupos de $(\mathbb{R},+)$, abierto como un conjunto habitual de la topología y también de los subgrupos.

Answer 1

Sugerencia: abrir Cada subgrupo de un grupo topológico también está cerrada.

Answer 2

SUGERENCIA: Si $G$ es un subgrupo de $\Bbb R$,$0\in G$. Si además de la $G$ está abierta, $G$ contiene un intervalo de la forma $I=(-a,a)$ algunos $a>0$. Claramente $G\supseteq nI$ por cada $n\in\Bbb Z^+$ donde $nI=\{nx:x\in I\}$. ¿Que te dice esto acerca de la $G$?

Answer 3

El uso de archimedian propiedad de $\mathbb{R}$

deje $S$ ser adecuada abrir subgrupo, $x\in \mathbb{R}\setminus S, S\le \mathbb{R}$, $0\in S$ es punto interior de modo que no existe $\epsilon >0$, de tal manera que $(-\epsilon,\epsilon)\subseteq S$ ,por ese $\epsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que $\frac{x}{N}<\epsilon$, lo $\frac{x}{N}+\dots+\frac{x}{N}(N \text{ times})=x\in S$ así que la única subgrupos son trivials