Cómo encontrar todos los enteros positivos $m,n$ tal que $n(n+1)(n+2)=6m^3$ ? Puedo ver que $m=n=1$ es una solución , pero es la única solución ?
Respuesta
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JiminyCricket
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El papel Racional aproximación a los números algebraicos de pequeña altura: la ecuación de Diophantine $\left|ax^n-by^n\right|=1$ por Michael A. Bennett (J. reine angew. De matemáticas. 535 (2001),1-49) demuestra que la ecuación en el título tiene más de una solución en los enteros positivos $x,y$ dados los enteros positivos $a,b,n$$n\ge3$.
De ello se desprende que $x=y=1$ es la única solución, tanto de $\left|2x^3-y^3\right|=1$ e de $\left|2x^3-3y^3\right|=1$.
A partir de ahora, $n$ $n$ en la pregunta, no en el papel.
$n$, $n+1$ y $n+2$ no tienen otros factores de $2$ en común. De ello se desprende que, salvo para los factores de $2$ y un factor de $3$ a cancelar el factor de $3$ en el factor de $6$, $n$, $n+1$ y $n+2$ todo debe ser perfecto cubos. Esto nos permite excluir soluciones no triviales por análisis de caso:
Si $n+1$ es incluso, no contiene la única uncubed factor de $3$, ya que de lo contrario $n$ $n+2$ sería perfecto cubos. Tiene un solo uncubed factor de $2$ a cancelar el factor de $2$ en el factor de $6$, ya que el $n$ $n+2$ son impares. Por lo tanto $n+1=2x^3$, y uno de $n$ $n+2$ debe ser de un cubo perfecto $y^3$, y con $\left|2x^3-y^3\right|=1$ se sigue que $x=y=1$.
Si $n$ $n+2$ son incluso, uno de ellos, dicen, $n$, es divisible por $2$, pero no por $4$. No puede contener también el único uncubed factor de $3$, ya que de lo contrario los otros dos tendrían que ser perfecto cubos. Por lo tanto $n=2x^3$, e $n+1$ es $y^3$ o $3y^3$. De nuevo se sigue que $x=y=1$.
