Expresan $2002^{2002}$ como una suma de cubos

Question

Este es el problema: Determinar el menor entero positivo de $k$ de tal manera que no existen enteros $x_1, x_2 , \ldots , x_k$ con ${x_1}^3+{x_2}^3+{x_3}^3+\cdots+{x_k}^3=2002^{2002}$. Cómo abordar este tipo de problemas?? Gracias de antemano!!

Answer 1

$k=4$ es el más pequeño:

Sin duda, se puede hacer uso de 4 cubos, haciendo notar que $2002 = 10^3 + 10^3 + 1^3 +1^3$, y, a continuación, utilizando $2002^{2002} = 2002 \times 2002^{2001} = (10^3 + 10^3 + 1^3 +1^3)\veces (2002^{667})^3$, y multiplicarse fuera de los corchetes.

Dado que el número puede ser representado por 4 cubos, basta para mostrar que no se puede hacer con menos de 4.

Desde $2002 \equiv 4 \pmod 9$ tenemos $2002^3 \equiv 64 \equiv 1 \pmod 9 de dólares para que$2002^{3n} \equiv 1 \pmod 9$ y por lo que el número original es equivalente a 4 (mod 9).

Buscando en los cubos de mod 9, que son equivalentes a 0, 1 o -1, por lo que al menos 4 son necesarios para cualquier número equivalente a $4 \pmod 9$.