La forma cerrada para $\sum\limits_{r=-\infty}^\infty \sum\limits_{s=-\infty}^\infty \frac{1}{(k^2\tau^2+(x+2\pi r)^2+(y+2\pi s)^2)^{3/2}}$

Question

Tengo un problema al intentar encontrar una forma cerrada para la siguiente suma doble. $$\sum_{r=-\infty}^\infty \sum_{s=-\infty}^\infty \frac{1}{(k^2\tau^2+(x+2\pi r)^2+(y+2\pi s)^2)^{3/2}}$$

He utilizado Mathematica para la evaluación, pero sólo devuelve el doble de la suma. Me pregunto cómo este tipo de infinita suma puede ser manejado.

Consejos o sugerencias son bienvenidos, tal vez por proponer algunas ideas para simplificar o hacer algunas aproximaciones.

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@Dr. Wolfgang Hintze muchas Gracias por la detallada explicación. Tengo una pregunta, cuando intento trazar el doble de la suma me sale un error "NSum :Sumando (o sus derivados)... - no es numérico en el punto r = 0 "? Para graficar lo que acabo de escribir esto :

¿Cuál es el problema en esta fórmula?

Answer 1

Esta no es una solución, ya que no he encontrado una forma cerrada de expresión (y dudo que mientras que exista), sino una colección de ilustrativos comentarios que pueden ser útiles.

Aviso que he reinsertado y simplificada de la derivación de la transformada de Fourier de la forma de la doble suma en 6).

1), Mientras que la suma

$$f=\sum _{r=-\infty }^{\infty } \sum _{s=-\infty }^{\infty } \frac{1}{\left(k^2 \tau ^2+(2 \pi r+x)^2+(2 \pi s+y)^2\right)^{3/2}}$$

se devuelve sin evaluar por Mathematica la correspondiente integral de una forma muy sencilla la forma cerrada de la solución (independiente de $x$$y$)

$$fi=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\left(k^2 \tau ^2+(2 \pi r+x)^2+(2 \pi s+y)^2\right)^{3/2}}dsdr = \frac{1}{2 \pi \sqrt{k^2 \tau ^2}}$$

Este es, por supuesto, puramente técnica de la observación como la integral carece de la esencial dependencia de la $x$$y$.

2) Numérico investigación muestra que pero unos sumando son suficientes para obtener una aproximación razonable a la suma completa.

3) las Parcelas de la suma doble

3a) 3D-parcela para dos valores de $z = k \tau$

$z = 1$

$z = \pi /2$ (este es el valor que se asigna a la z de acuerdo a la OP)

Vemos a la espera regular pico de la estructura. Donde los picos se hacen más pronunciada con menor $z$ (observe que la escala vertical es la misma en las dos fotos).

3b) secciones transversales $y = 0$ para diferentes valores de z

3c) valor Máximo de $f$ como una función de la $z$

Observe que $f \simeq 1/z^3$ pequeña $z$. Que también puede ser derivado de forma directa de la suma doble como se muestra en la sección 5).

3d) valor Mínimo de $f$ como una función de la $z$

4) interpretación Física de la suma doble.

Considere la posibilidad de una variedad infinita de unidad de las masas colocadas en los x-y-plano en los puntos de $(x,y) = 2 \pi (r,s)$.

El doble de la suma de la $f$ multiplicado por el $z$ es entonces igual a la componente vertical de la fuerza gravitacional por unidad de masa en el punto de $(x,y,z)$.

Es claro a partir de este análogo de modelo que la fuerza es importante para las pequeñas $z$ y disminuye por el aumento de $z$.

5) el comportamiento Asintótico

5a) Para las pequeñas $z$ tenemos $z \simeq 1/z^3$.

De hecho, por pequeño $z$ podemos escribir

$$f(0,0,z\to 0)\simeq \frac{4}{(2 \pi )^{3/2}}\sum _{r=1}^{\infty } \sum _{s=1}^{\infty } \frac{1}{\left(r^2+s^2\right)^{3/2}}+\frac{1}{z^3}$$

El doble de la suma es finita y constante, como lo muestra así

$$fr=\sum _{r=1}^{\infty } \sum _{s=1}^{\infty } \frac{1}{\left(r^2+s^2\right)^{3/2}}<\int _1^{\infty }\int _1^{\infty }\frac{1}{\left(r^2+s^2\right)^{3/2}}dsdr=2-\sqrt{2}\simeq 0.585786\text{...}$$

Esto demuestra la declaración.

5b) Por $z\to\infty$ nos encontramos con $f\simeq \frac{1}{2 \pi z}$.

De hecho, en este caso el doble de la suma puede ser aproximada por la integral doble como se calcula en la sección 1).

5c) Ambos límites son fáciles de entender desde la física analogía:

Para las pequeñas $z$ $(x,y) = (0,0)$ nos estamos acercando a una sola masa en el origen. La fuerza que hemos calculado es igual al $z \frac{1}{z^3} = \frac{1}{z^2}$, de acuerdo con la ley de Newton de la gravedad.

Para un gran $z$, por otro lado, la estructura de la rejilla es "invisible" para el punto de la masa, y la fuerza es igual a la fuerza de un infinito masivo de la placa, y esta es una constante. De hecho, hemos encontrado $f \simeq 1/z$, los tiempos de $z$ esto es constante.

6) la transformada de Fourier de la forma de la suma doble

El doble de la suma de la $f$, rebautizada $fc$ aquí, también puede ser escrito como una doble serie de Fourier.

$$fc(x,y,z)=\frac{1}{2 \pi z}\sum _{n=-\infty }^{\infty } \sum _{m=-\infty }^{\infty } e^{-z \sqrt{m^2+n^2}} \cos (m y) \cos (n x)$$

La derivación se inicia a partir de la expresión obtenida en la solución de Pierpaolo Vivo

$$fe(x,y,z)=\int_0^{\infty } \frac{e^{-t z^2} \vartheta _3\left(\frac{x}{2},e^{-\frac{1}{4\; t}}\right) \vartheta _3\left(\frac{y}{2},e^{-\frac{1}{4\; t}}\right)}{2 \pi ^{3/2} \sqrt{t}} \, dt$$

Subsituting la expresión para la Jacobi theta de la función (véase la parte real de la fórmula (4) en http://mathworld.wolfram.com/JacobiThetaFunctions.html)

$$\vartheta _3\left(\frac{u}{2},q\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty } q^{n^2} \cos (n u)$$

y haciendo el $t$integral da

$$\cos (m y) \cos (n x) \int_0^{\infty } \frac{\exp \left(-\frac{m^2+n^2}{4 t}-t z^2\right)}{\left(2 \pi ^{3/2}\right) \sqrt{t}} \, dt=\frac{e^{-z \sqrt{m^2+n^2}} \cos (m y) \cos (n x)}{2 \pi z}$$

El doble de la suma de los cuales es $fc$. Hecho.

Comentario: es interesante, que la sustitución de la doble suma por una integral doble da (sugerencia: la transformación a coordenadas polares)

$$\frac{1}{2 \pi z}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-z \sqrt{m^2+n^2}} \cos (m y) \cos (n x)dmdn=\frac{1}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}$$

Esta expresión es menos trivial de lo que el uno en 1), pero el doble estructura periódica se lava fuera así.

7) Aproximaciones

Podemos aproximar la función por tomar sólo un número finito $n$ de los términos, que se define aquí como dejar que la suma de los índices de ejecución de$-n$$n$.

Resulta que para $z\gtrsim 1$ Fourier doble de la suma de la $fc$ requiere menos términos que los de la llanura suma $f$, mientras que para $z\lesssim 1$ la situación se invierte. Los siguientes gráficos muestran el comportamiento típico de los valores máximo y mínimo como una función del número de términos.

El caso de $z = \pi /2$, esto es los valores de la OP

El caso de $z = 1/2$

Llegamos a la conclusión de que si $z$ toma el valor de $\pi /2$ de la OP, entonces la transformada de Fourier suma doble truncada en el índice de $n = 4$ ofrece una buena aproximación a $f$. De ahí que podamos estado (algo audazmente) que este es el solicitado la forma cerrada de la expresión.

Answer 2

No es realmente una respuesta completa, pero demasiado largo para un comentario. Siempre se puede utilizar la identidad $$ \frac{1}{Z^{3/2}}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^\infty d\xi\ \xi^{1/2}e^{-\xi Z}\ , $$ para los positivos $Z$. Su doble suma, a continuación, lee $$ \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^\infty d\xi\ \xi^{1/2}e^{-\xi k^2\tau^2}\sum_{i=-\infty}^\infty e^{-\xi (x+2\pi r)^2}\sum_{s=-\infty}^\infty e^{-\xi (y+2\pi s)^2} $$ y la evaluación de los dos sumas en términos de Elíptica theta funciones, se obtiene $$ \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^\infty d\xi\ \xi^{1/2}e^{-\xi k^2\tau^2}\frac{\vartheta _3\left(\frac{x}{2},e^{-\frac{1}{4 \xi}}\right)}{2 \sqrt{\pi } \sqrt{\xi}}\frac{\vartheta _3\left(\frac{y}{2},e^{-\frac{1}{4 \xi}}\right)}{2 \sqrt{\pi } \sqrt{\xi}} $$ $$ =\int_0^{\infty } \frac{e^{-k^2 \xi \tau ^2} \vartheta _3\left(\frac{x}{2},e^{-\frac{1}{4 \xi }}\right) \vartheta _3\left(\frac{y}{2},e^{-\frac{1}{4 \xi }}\right)}{2 \pi^{3/2} \sqrt{\xi }} \, d\xi. $$ La integral no parece ser fácil de calcular, en forma cerrada, pero podría ser más adecuado para un asintótica/evaluación aproximada.

Answer 3

@Dr. Wolfgang Hintze, muchas Gracias por el aporte. El punto de esta respuesta es solo para proponer algo que podría completar la derivación de $f_{s}$ propuesto en la respuesta anterior. A este paso creo que no hay una solución de forma cerrada, sino una aproximación razonable puede ser hecho.

Intuitivamente, $|\cos(nx) \cos(y n)|$ se reparte a partes iguales entre 0 y 1. Si nos aproximada como una constante $c>0$, entonces la suma de convertirse en

$f_{s} \simeq \frac{2c}{\pi z}\sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty e^{-z\sqrt{m^2+n^2}}$.

De nuevo esta expresión no es manejable con Mathematica, así que pensé que la aproximación puede realizarse a partir de Euler–Maclaurin de la fórmula.

Empiezo por hacer una simple modificación en $f_{s}$ :

$f_{s} \simeq \frac{2c}{\pi z}[\sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty e^{-z\sqrt{m^2+n^2}}-2]$.

En una variable, Euler_Maclaurin fórmula de estado que $\sum_{n=0}^\infty f(n)=\frac{1}{2}f(0)+\int_{0}^{\infty}f(n) dn$, voy a utilizar esta dos veces en lo que sigue.

Sabemos que $\frac{\pi}{2z^2} = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-z\sqrt{m^2+n^2}} dn dm$

entonces

$\frac{\pi}{2z^2} = \int_{0}^{\infty}[\sum_{m=0}^\infty e^{-z\sqrt{m^2+n^2}}-\frac{1}{2}e^{-zm}]dm$

$\frac{\pi}{2z^2} = \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty e^{-z\sqrt{m^2+n^2}}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty e^{-zn}+\frac{1}{4}$

$\frac{\pi}{2z^2} = \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty e^{-z\sqrt{m^2+n^2}}-\frac{1}{2} \frac{e^{z}}{e^{z}-1}+\frac{1}{4}$

Así, ahora podemos concluir que

$\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty e^{-z\sqrt{m^2+n^2}}= \frac{\pi}{2z^2}+\frac{1}{2} \frac{e^{z}}{e^{z}-1}-\frac{1}{4}.$

Todo esto de lo que yo era capaz de hacer, pero soy no estoy seguro de que mi suposición ($|\cos(nx) \cos(y n)|$=c) es razonable para garantizar una buena aproximación. ¿Qué te parece ?