Cómo saber la ubicación de un punto?

Question

Tengo un círculo formado con tres puntos dados. ¿Cómo puedo saber si el otro punto está dentro del círculo formado por los anteriores tres puntos. Es determinante debo calcular? Entonces ¿cuáles son los casos que necesitan para manejar?

Answer 1

Deje $A(x_1,y_1),~~B(x_2,y_2),~~C(x_3,y_3)$ son tres puntos arbitrarios en $\mathbb R^2$. Si desea comprobar si dar otro punto es en el círculo o fuera de él, usted debe tener la ecuación del círculo. Supongamos que su ecuación es de la forma: $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ and our forth point is $(x_4,y_4)$. If $(x_4-a)^2+(y_4-b)^2>r^2$ so the point is out of the circle and if $<r$ es en el círculo. Se puede encontrar la ecuación de la circunferencia?

Answer 2

Después se calcula el centro y el radio que acaba de comprobar si la norma de la centro - el punto es menor que el radio. Si sí, que el punto está en el círculo, si no que no es.

Answer 3

Si usted realmente desea utilizar determinantes para encontrar esto, hay maneras. Por ejemplo, para comprobar http://www-ma2.upc.es/%7Egeoc/circumferenciaEN.pdf para un método (primero necesita saber cómo comprobar la orientación del triángulo formado por los tres puntos, el cual es otro factor determinante).

Answer 4

Uso de números complejos para representar los puntos. Si $z_1,z_2,z_3$ son los puntos de determinar el círculo, pasando alrededor del círculo en el sentido contrario de la orden, y $z$ es el punto que desee localizar como en el interior o en el exterior del círculo, calcular la cruz-relación de $$r = \frac{(z_1-z_3)(z_2-z)}{(z_1-z)(z_2-z_4)}.$$ A continuación, $z$ está dentro del círculo a través de $z_1,z_2,z_3$ si $r$ tiene parte imaginaria positiva, mientras que $z$ está fuera del círculo si $r$ ha negativa de la parte imaginaria. Un punto de $z$ que está en el círculo va a dar un $r$ con parte imaginaria $0$.

Por supuesto, esto presupone $z_1,z_2,z_3$ no están en una línea, que su programa es de suponer que asegurar. Y antes de calcular el $r$, uno debe comprobar si $z$ pasa a ser igual a uno de $z_1,z_2,z_3$; la respuesta es conocido ya que en ese caso, por lo que no hay pérdida.

Si es un problema de la determinación de que el fin está a la izquierda, uno es para el primer uso $z=1000$ o de algún valor conocido fuera del círculo y, a continuación, seguir la pista de las piezas imaginarias de $r$ calculado utilizando tanto el tratado de punto de $z$ y el uso de $1000$$z$. Los $z$ dando la opuesta firmada parte imaginaria entonces será en el interior del círculo, etc.