Cuantización de la electrostática $\vec E$ campo?

Question

Puede un campo electrostático $\vec E=\vec E(x,y,z)$ (independiente del tiempo) o potencial electrostático $\phi=\phi(x,y,z)$ ser cuantificada? Si es así, ¿estos quanta ser los fotones de nuevo? Pero no tenemos un campo electromagnético aquí.

Answer 1

En el estándar de la cuantización de la libre campo electromagnético, el campo de los operadores de satisfacer el (mismo tiempo) relaciones de conmutación

$$ [E_i(\mathbf{x}, t), B_j(\mathbf{y}, t)] = -i \hbar \epsilon_{ijk} \partial_k \delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$$.

Por favor, véase por ejemplo el siguiente artículo de Stewart.

Esto implica la existencia de una incertidumbre respecto:

$$\Delta E_f \Delta B_g \le \frac{\hbar}{2} \int d^3x \epsilon_{ijk} f^i \partial_k g^j$$

donde $E_f$, $B_g$ se la unta campos por el vector de valores de las funciones $f^i$, $ g^j $ respectivamente ($E_f = \int d^3x f^i((\mathbf{x}) E_i(\mathbf{x})$). Podemos suponer que estas funciones son de forma compacta compatible con el fin de garantizar la convergencia de la integral.

Esto significa que para casi todas las opciones de las funciones $f^i$, $ g^j $, hay un unvanishing incertidumbre relación entre las componentes de los campos eléctrico y magnético. Por lo tanto un campo magnético de fuga implicaría infinito de las fluctuaciones de la intensidad de campo eléctrico.

Como consecuencia, la electrostática a la desaparición de los campos magnéticos implicaría infinita incertidumbre en el campo eléctrico. Por lo tanto, la electrostática no puede ser cuantificada.

Answer 2

Así que, permítanme reformular su pregunta un poco. El "electrostática" caso, por ejemplo, la física del plasma se refiere al caso en el $|v| \ll c$, por lo que el acoplamiento para el vector potencial de $\vec{A}$ es insignificante y se puede considerar que la pura situación de la potencial escalar $\phi$. Estamos TOTALMENTE de puede escribir un Lagrangiano de quantum de la densidad de este como \begin{equation} \mathcal{L} = \underbrace{i \psi^* \partial_t \psi + \frac{1}{2m}(\nabla \psi^*)\cdot (\nabla \psi)}_{\textrm{Schrodinger equation}} + \underbrace{e \psi^* \psi \phi}_{\textrm{coupling}} + \underbrace{\frac{1}{8 \pi}(\nabla \phi)\cdot (\nabla \phi)}_{\textrm{Maxwell stress tensor}} \end{equation} Estoy escribiendo esto desde la memoria, así que no estoy seguro de si tengo todo el inicio de sesión único y constante a la derecha, pero se puede ver que sin duda puede tener una enorme masa real escalar campo $\phi$ que actúa como el potencial escalar en la mecánica clásica, pero está en un quantum de acción y, por lo tanto, puede ser canónicamente cuantificada.