¿Cuándo es cierta esta afirmación?
$$\dfrac {\mathrm dx}{\mathrm dy} = \frac 1 {\frac {\mathrm dy}{\mathrm dx}}$$
donde $y=y(x)$ . Creo que $y(x)$ tiene que ser biyectiva para tener una inversa y que la expresión $\dfrac {\mathrm dx}{\mathrm dy}$ tiene sentido. ¿Pero hay alguna otra condición?
Supongamos que $g(f(x))=x$ . Entonces $$g'(f(x))f'(x)=1$$ y luego $$g'(f(x))=\frac1{f'(x)}$$
Obsérvese que también necesitamos que $f'(x)\neq 0$ . Todas las condiciones (la inyectabilidad y la diferenciabilidad de $f$ y que $f'$ no se desvanece) deben encontrarse en una vecindad del punto donde se está diferenciando, es decir, esto funciona localmente.
Ver el teorema de la función inversa .
Las respuestas hasta ahora son posiblemente incorrectas; se limitan a dar condiciones suficientes pero no necesarias, y una de ellas incluso afirma que sus condiciones son necesarias. Nosotros sí no necesitan diferenciabilidad en alguna vecindad (abierta) del punto, incluso para la definición convencional (muy restrictiva) de derivada. Además, si trabajamos con una definición natural generalizada de derivada, hacemos no incluso necesita una correspondencia uno a uno entre los valores de $x$ y los valores de $y$ cerca del punto, para que la derivada exista allí. Primero expondré y demostraré el hecho general, y luego daré ejemplos que refuten la necesidad de estas dos condiciones. $ \def\less{\smallsetminus} \def\rr{\mathbb{R}} \def\lfrac#1#2{{\large\frac{#1}{#2}}} $
Si $\lfrac{dy}{dx}$ existe y no es cero, entonces $\lfrac{dx}{dy}$ existe y es el recíproco.
Esto es válido en cualquier marco en el que $\lfrac{dy}{dx}$ es el límite de $\lfrac{Δy}{Δx}$ como $Δt \to 0$ (indefinido si el límite es indefinido), donde $x,y$ son variables que varían continuamente con respecto a algún parámetro $t$ (que podría ser $x$ mismo). Aquí " $Δx$ "denota un cambio en $x$ desde un punto determinado, por lo que " $Δt \to 0$ " capta esencialmente el comportamiento limitante como $t$ se acerca (pero no alcanza) a un determinado valor. Esto capta no sólo las situaciones habituales, como las derivadas de funciones, sino que también permite una diferenciación implícita sencilla pero rigurosa incluso para las restricciones que son no localmente biyectiva.
(Véanse más adelante las notas que justifican este marco).
Tomar cualquier variable $x,y$ que varía con el parámetro $t$ .
Tome cualquier punto donde $\lfrac{dy}{dx} \in \rr \less \{0\}$ .
Como $Δt \to 0$ :
$\lfrac{Δy}{Δx} \approx \lfrac{dy}{dx} \ne 0$ .
Así, $\lfrac{Δy}{Δx} \ne 0$ y por lo tanto $Δy \ne 0$ (eventualmente).
Así, $\lfrac{Δx}{Δy} = (\lfrac{Δy}{Δx})^{-1} \approx (\lfrac{dy}{dx})^{-1}$ .
Por lo tanto, $\lfrac{dx}{dy} = (\lfrac{dy}{dx})^{-1}$ .
Considere $f : \rr \to \rr$ tal que $f(0) = 0$ y $f(x) = \lfrac{2}{\lfrac1x+2(1-(\frac1x\%2))}$ por cada $x \in \rr \less \{0\}$ , donde " $x\%y$ "se define como " $x-\lfloor \lfrac{x}{y} \rfloor y$ ".
Entonces $f$ es una biyección de $\rr$ a $\rr$ y tiene un gradiente $2$ en $0$ pero es claramente no diferenciable en cualquier intervalo abierto alrededor de $0$ . Desde $\lfrac{d(f(x))}{dx} = 2$ satisfaciendo la condición que he indicado, $f^{-1}$ tiene pendiente $\lfrac12$ en $0$ .
Tenga en cuenta que $f'(0)$ y ${f^{-1}}'(0)$ ambos existen incluso bajo la definición convencional de derivado, porque $f$ es biyectiva, y $y=f(x)$ se encuentra entre $y=\frac2{1/x+2}$ y $y=\frac2{1/x-2}$ que son tangentes al origen. Así que esto proporciona un contraejemplo a la afirmación de que necesitamos diferenciabilidad en alguna vecindad abierta.
Dejemos que $t$ sea un parámetro real y $x,y$ sean variables que varían con $t$ tal que $(x,y) = (0,0)$ si $t = 0$ y $(x,y) = (t+2t^3\cos(\lfrac1{t^2}),t+2t^3\sin(\lfrac1{t^2}))$ si $t \ne 0$ .
Entonces $\lfrac{dy}{dx} = \lfrac{dx}{dy} = 1$ cuando $t = 0$ a pesar de que la curva no tiene ninguna biyección local entre los valores de $x$ y los valores de $y$ ¡en cualquier bola abierta alrededor del origen!
Obsérvese que el marco convencional del análisis real no puede ni siquiera afirmar este hecho que la curva tiene gradiente $1$ ¡en el origen! Este es un tipo de situación en la que el marco que estoy utilizando es superior; otro tipo implica integrales de trayectoria.
Este marco es autoconsistente y más general que el convencional del "cálculo elemental" en el que sólo se puede escribir " $\lfrac{dy}{dx}$ " cuando $y$ es una función de $x$ . Si lo piensas un poco, te darás cuenta de que la "función de $x$ " es un sinsentido en el sentido lógico. En cualquier sistema fundacional estándar, ningún objeto $y$ puede ser tanto una función como un número real. Por lo tanto, es totalmente sin sentido para decir " $y$ es una función de $x$ ". Sin embargo, la gente escribe cosas como " $y = f(x)$ donde $f$ es una función de $\rr$ a $\rr$ ". Esto es técnicamente igual de absurdo, porque o bien $x$ está previamente definida y así $y$ es un solo número real, o $x$ se trata como un parámetro por lo que $y$ es en realidad un expresión en el lenguaje del sistema fundacional. Sólo en este último caso tiene sentido pedir la derivada de $y$ con respecto a $x$ que es también una expresión De lo contrario, no tiene sentido. Si se es realmente riguroso, se verá que muchos textos utilizan una notación ambigua o incoherente por esta misma razón.
Sin embargo, el marco que utilicé anteriormente es riguroso pero lógicamente consistente. En concreto, cuando decimos que un conjunto de variables varía con un parámetro $t$ debe interpretarse como que cada variable es una función sobre el rango de $t$ y toda expresión que incluya las variables denota una función interpretando " $t$ " como parámetro de entrada y que todas las operaciones sean puntuales. Por ejemplo, si decimos que $x,y$ varían con $t \in \rr$ debemos interpretar $x,y$ como funciones en $\rr$ e interpretar expresiones como " $xy+t$ " para ser la suma puntual de $x,y$ más la entrada, es decir $( \rr\ t \mapsto x(t)y(t)+t )$ . Del mismo modo, debemos interpretar " $Δx$ " para denotar " $( \rr\ t \mapsto x(t+Δt)-x(t) )$ ", donde " $Δt$ " se interpreta como un parámetro libre con exactamente la misma función que " $h$ " en " $\lim_{h \to 0} \lfrac{x(t+h)-x(t)}{h}$ ". Por último, permitimos la evaluación de las variables en un punto determinado, por lo que, por ejemplo, podríamos decir "cuando $x = 0$ ...", que debe interpretarse como "para cada $t$ tal que $x(t) = 0$ , ...".
Además, debemos distinguir entre " $→$ " y " $≈$ ". " $x → c$ " significa " $x$ finalmente se mantiene cerca pero no igual a $c$ ", mientras que " $x ≈ y$ " significa " $x$ finalmente se mantiene cerca de $y$ (posiblemente igual)". Se podría expresar mediante la típica definición ε-δ de los límites, pero es más fácil verlos topológicamente; " $x ≈ y$ como $Δt → 0$ " significaría "dada cualquier bola $B$ alrededor de $0$ , $(x-y)(t+Δt)$ se encuentra en $B$ por cada $Δt$ en alguna bola perforada suficientemente pequeña alrededor de $0$ ". (Un punto de vista alternativo que es equivalente bajo un principio de elección débil es a través de la continuidad secuencial; " $x ≈ y$ como $Δt → 0$ " significaría "para cada secuencia $Δt$ que eventualmente es distinto de cero pero converge a cero, la secuencia $(x-y)(t+Δt)$ converge a cero").
Ahora es fácil comprobar que mi definición anterior de " $\lfrac{dy}{dx}$ " es absolutamente riguroso y no sólo coincide con la noción intuitiva de gradiente mucho mejor, sino que también es mucho más general. De hecho, como he mostrado anteriormente, es más fácil traducir los argumentos intuitivos de las propiedades de los gradientes a este marco. Por ejemplo, la prueba anterior es una traducción directa de la simetría de los cocientes.
Por último, este marco se basa en el análisis real estándar y, por tanto, es completamente compatible con él, ya que no utiliza axiomas teóricos de conjuntos innecesarios, a diferencia del análisis no estándar. También se extiende de forma natural a notación asintótica .
A partir de la definición de derivada en un punto se pueden ver todos los requisitos. Sea $f$ inyectiva en $[a,b]$ y $f^{-1}$ es inverso, entonces
$$[f^{-1}]'(c)=\lim_{y\to c}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(c)}{y-c}$$
Ahora, porque $f^{-1}$ es biyectiva entonces $f^{-1}(y)=f^{-1}(f(x))=x$ para algunos $x\in[a,b]$ . De la misma manera $c=f(x_0)$ para algunos $x_0\in[a,b]$ . Entonces
$$[f^{-1}]'(f(x_0))=\lim_{f(x)\to f(x_0)}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}$$
Ahora: si $f^{-1}$ es continua en $c$ entonces $$f(x)\to f(x_0)\implies x\to x_0$$ Por lo tanto,
$$[f^{-1}]'(f(x_0))=\lim_{f(x)\to f(x_0)}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\lim_{x\to x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac1{f'(x_0)}$$
Si $f'(x_0)$ existe y es diferente de cero, entonces lo anterior está bien definido.
Que la transformación $y =y (x) $ sea monovaluada con una derivada positiva continua $dy /dx >0$ . En este caso existe una transformación inversa de un solo valor $x=x (y) $ cuya derivada $dx/dy = 1/(dy/dx) $ también es positivo. Esto también es cierto si tiene una derivada continua negativa. En resumen, es necesario que $y=y (x) $ sea una función uno a uno para que exista la derivada de la función inversa.
Espero que sea de ayuda.
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