Si $F$ es un campo (se puede hacer en cualquier anillo, pero limitémonos a los campos), entonces podemos definir un derivado formal de un polinomio $$ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x+a_0 \in F[x]$$ como $$ D_xf(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+2a_2x+a_1 \in F[x].$$ Con esta definición, se pueden demostrar las reglas habituales para la derivada de la suma y el producto de polinomios, son \begin {Ecuación} \tag {1} D_x(f(x)+g(x))=D_x(f(x))+D_x(g(x)) \end {ecuación} y \begin {Ecuación} \tag {2} D_x(f(x)g(x))=D_x(f(x))g(x)+D_x(g(x))f(x). \end {Ecuación}
De la regla del producto podemos deducir que $D_x(\lambda f(x))=\lambda D_x(f(x))$ para cualquier $\lambda \in F$ y $f(x) \in F[x],$ por lo que la derivada es un mapa lineal.
Pregunta
Me preguntaba si las relaciones (1) y (2) caracterizan de hecho la derivada formal de un polinomio, al menos en campos como $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ . Es decir, si tengo un mapa lineal $L:\mathbb{C}[x]\to\mathbb{C}[x]$ (o $L:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x]$ ) que satisface (1) y (2), ¿es necesariamente la derivada formal?
Además, me preguntaba si esto se puede generalizar a mapas lineales generales entre funciones suaves de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^n$ (o de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ ), de modo que si $L:C^{\infty}(\mathbb{R}^n) \to C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ es un mapa lineal que satisface (1) y (2), entonces $L$ debe ser la derivada. Si no es así, me preguntaba si hay alguna otra condición que $L$ debe satisfacer para garantizar que es debe ser la derivada.
Agradezco cualquier comentario sobre el problema.
Nota: He tenido un pequeño problema con las etiquetas de esta pregunta, ya que he preguntado por la derivada formal entre campos pero también considero la pregunta a mapas lineales generales entre $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^n$ . Agradezco si alguien me puede ayudar con las etiquetas también.
