¿La regla del producto y de la suma caracteriza a la derivada?

Question

Si $F$ es un campo (se puede hacer en cualquier anillo, pero limitémonos a los campos), entonces podemos definir un derivado formal de un polinomio $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x+a_0 \in F[x]$$ como $$D_xf(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+2a_2x+a_1 \in F[x].$$ Con esta definición, se pueden demostrar las reglas habituales para la derivada de la suma y el producto de polinomios, son \begin {Ecuación} \tag {1} D_x(f(x)+g(x))=D_x(f(x))+D_x(g(x)) \end {ecuación} y \begin {Ecuación} \tag {2} D_x(f(x)g(x))=D_x(f(x))g(x)+D_x(g(x))f(x). \end {Ecuación}

De la regla del producto podemos deducir que $D_x(\lambda f(x))=\lambda D_x(f(x))$ para cualquier $\lambda \in F$ y $f(x) \in F[x],$ por lo que la derivada es un mapa lineal.

Pregunta

Me preguntaba si las relaciones (1) y (2) caracterizan de hecho la derivada formal de un polinomio, al menos en campos como $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ . Es decir, si tengo un mapa lineal $L:\mathbb{C}[x]\to\mathbb{C}[x]$ (o $L:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x]$ ) que satisface (1) y (2), ¿es necesariamente la derivada formal?

Además, me preguntaba si esto se puede generalizar a mapas lineales generales entre funciones suaves de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^n$ (o de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ ), de modo que si $L:C^{\infty}(\mathbb{R}^n) \to C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ es un mapa lineal que satisface (1) y (2), entonces $L$ debe ser la derivada. Si no es así, me preguntaba si hay alguna otra condición que $L$ debe satisfacer para garantizar que es debe ser la derivada.

Agradezco cualquier comentario sobre el problema.

Nota: He tenido un pequeño problema con las etiquetas de esta pregunta, ya que he preguntado por la derivada formal entre campos pero también considero la pregunta a mapas lineales generales entre $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^n$ . Agradezco si alguien me puede ayudar con las etiquetas también.

Answer 1

En general, un $\mathbb{C}$ -función lineal $L\colon\mathbb{C}[x]\to\mathbb{C}[x]$ Satisfaciendo a $$L[f(x)g(x)] = f(x)\,L[g(x)] + L[f(x)]\,g(x)$$ se llama derivación . (Esta definición tiene sentido para cualquier álgebra sobre un campo .) Obsérvese que dicho mapa debe satisfacer $L[1] = 0$ ya que $$L[1] \,=\, L[1\cdot1] \,=\, 1\,L[1] + 1\,L[1] \,=\, 2\,L[1].$$ Sin embargo, no todas las derivaciones satisfacen $L[x] = 1$ .

De hecho, si $k(x)$ es cualquier polinomio (fijo) en $\mathbb{C}[x]$ podemos definir una derivación $L\colon \mathbb{C}[x]\to\mathbb{C}[x]$ por $$L[f(x)] \,=\, k(x)\,f'(x).$$ Es fácil comprobar que $L$ es una derivación, y que $L[x] = k(x)$ . También es fácil comprobar que toda derivación debe ser de esta forma, ya que dos derivaciones cualesquiera $L_1$ y $L_2$ Satisfaciendo a $L_1[x]=L_2[x]$ deben ser iguales por inducción al grado de un polinomio.