Las sumas de cuadrados son cerrados bajo la división de

Question

Sorprendentemente, tenemos sólo una pregunta para nuestro 2 horas de examen y creo que nadie resuelto. Aquí está el problema:

Suponiendo que $K$ es un campo, muestran que $S$ es estable en adición, la multiplicación y la división, donde $S$ se define como sigue: $$S=\left\{\sum_{i=1}^{n}{x_i}^2 \mid n\in \Bbb N ,\ x_i\in K\right\}.$$

Answer 1

Además: Trivial. Cualquier suma de dos finito de sumas de cuadrados de un número finito de suma de cuadrados.

Multiplicación: Trivial. Cualquier producto de dos cuadrados es un cuadrado y la propiedad distributiva muestra que un producto de dos finito de sumas de dinero tiene un número finito de términos.

División: Supongamos que $a=\sum_{i=1}^n x_i^2$ no es cero. Nos gustaría mostrar que $a^{-1}\in S$ (con seg.arpa del comentario). Si $n=1$, entonces la inversa de a $a$ es trivial. El primer caso interesante es cuando $n=2$ Supongamos que $a=x_1^2+x_2^2$.

Ahora, $$ \frac{1}{x_1^2+x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1^2+x_2^2)^2}=\left(\frac{x_1}{x_1^2+x_2^2}\right)^2+\left(\frac{x_2}{x_1^2+x_2^2}\right)^2 $$ Los denominadores son correctos ya que este es un campo. Todos los más altos $n$'s son generalizaciones de este caso.

Answer 2

$$\frac{1}{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=\frac{x_1^2}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^2}+\frac{x_2^2}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^2}+\frac{x_3^2}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^2}$$

Answer 3

$\begin{align}{\bf Hint} \ \ a\neq 0\ \Rightarrow&\ \ \color{#c00}{a^{\large -2}} =\, (a^{\large -1})^{\large 2} \in S\ \ \text{by %#%#% contains all squares}\\ {\rm so}\ \ \ a\in S\ \Rightarrow&\ \ a^{\large -1} =\, a\cdot \color{#c00}{a^{\large-2}}\in S\ \ \text{by %#%#% is closed under multipication} \end{align}$

Comentario $\,S\,$ Le preguntó cómo se generaliza. La idea no sólo funciona para los cuadrados, pero para cualquier potencia positiva, es decir, podemos obtener $\,S\,$ a partir de cualquiera de sus poderes positivos a través de $ $ También la única propiedad de cuadrados (o poderes) empleado en la demostración de multiplicativa de cierre es que son cerrado bajo la multiplicación. Estas observaciones conducen a la siguiente generalización.

Teorema $\,a^{-1}\,$ Supongamos $\,a^{\large -1} = a^{\large n-1}(a^{\large -1})^{\large n}.$ es un campo, $ $ es un subconjunto de a $K$ $M$ es el conjunto de todas las sumas de los elementos de $K$

$S$ es cerrado bajo la multiplicación si $M.$ es cerrado bajo la multiplicación.

$(1)\ \ S$ es cerrado bajo la división (por todas distinto de cero elementos) si $M$ es tanto cerrado bajo la multiplicación, y cada una de las $(2)\ \ S$ tiene algún poder positivo $S$

Prueba de $\,a\in K$ es una consecuencia inmediata de la ley distributiva. $\,a^{\large n}\in S.$ sigue como en el anterior, es decir, si $\ (1)\,$, luego por hipótesis de $\ (2)\ $ algunos $\,0\neq s\in S\,$ $\,(s^{\large -1})^{\large n}\in S\,$ porque $\,n\geq 1\,$ es cerrado bajo la multiplicación. Por lo tanto $\,s^{\large n-1}(s^{\large -1})^{\large n} = s^{\large -1}\in S\,$ $S$ es cerrado bajo la división.