Fácil manera de determinar los números primos para que $3$ es un cubo en $\mathbb{Q}_p$?

Question

Esta es una qual problema de Princeton web y me pregunto si hay una manera fácil de resolver:

Para que $p$ $3$ una raíz cúbica en $\mathbb{Q}_p$?

El caso de $p=3$ que $X^3-3$ no es separable del modulo $p$ puede ser fácilmente descartado por la comprobación de que $3$ no es un cubo modulo $9$. Hay una aproximación a esta que no utiliza cúbicos de reciprocidad? Si no, entonces te agradecería que si alguien iba a mostrar cómo se hace mediante cúbicos de reciprocidad. No he visto buenos ejemplos concretos de ella en cualquier lugar.

EDIT: yo debería haber sido más explícito aquí. Lo que yo realmente quería preguntar era cómo iba a encontrar todos los números primos $p\neq 3$ s.t. $x^3\equiv 3\,(\textrm{mod }p)$ tiene una solución? Sé cómo trabajar con el cuadrática caso el uso de la reciprocidad cuadrática, pero no estoy seguro de lo que debe ser hecho en el cúbicos caso.

Answer 1

Para impares primos $q \equiv 2 \pmod 3,$ la cubicación mapa es un bijection, 3 es siempre un cubo de $\pmod q.$

Para impares primos $p \equiv 1 \pmod 3,$ cúbicos de reciprocidad, 3 es un cubo de $\pmod p$ si y sólo si existe un número entero representación
$$ p = x^2 + x y + 61 y^2, $$ or $4p=u^2 + 243 v^2.$ En este formulario este es el Ejercicio 4.15(d) en la página 91 de la Cox. También el Ejercicio 23 en la página 135 de Irlanda y Rosen. El resultado es debido a Jacobi (1827).

Para más información, cuando cúbicos de reciprocidad no es lo suficientemente bueno, a ver la Representación de los números primos por la forma principal de discriminante $-D$ cuando el classnumber $h(-D)$ es de 3 por Richard H. Hudson y Kenneth S. Williams, Acta Arithmetica (1991) volumen 57 páginas 131-153.

Answer 2

Como se señaló en los comentarios, la cuestión se reduce a:

Para que los números primos $p\gt 3$ $3$ cúbico de residuos modulo $p$?

Esta pregunta se responde en detalle en Franz Lemmermeyer la Reciprocidad de las Leyes, el Capítulo 7 ("Cúbico de Reciprocidad").

Si $p\equiv 2\pmod{3}$, luego el orden de las unidades del modulo $p$ es el primer a $3$, de modo que cada elemento es un cubo; por lo tanto, $3$ es un cubo modulo $p$ para todos los números primos $p\equiv 2\pmod{3}$.

Si $p\equiv 1\pmod{3}$, entonces uno puede escribir $4p = L^2 + 27M^2$ para los números enteros $L$$M$, e $3$ es un cúbicos de residuos modulo $p$ si y sólo si $M\equiv 0\pmod{3}$ (Proposición 7.2 en Lemmermeyer).