$\Omega=x\;dy \wedge dz+y\;dz\wedge dx+z\;dx \wedge dy$ nunca es cero cuando se limita a $\mathbb{S^2}$

Question

Definimos una 2-forma$\Omega$$\mathbb{R^3}$$\Omega=x\;dy \wedge dz+y\;dz\wedge dx+z\;dx \wedge dy$. ¿Cómo puedo demostrar que $\Omega|_\mathbb{S^2}$ cero es la nada? Antes de probar que ¿cómo puedo calcular la restricción $\Omega|_\mathbb{S^2}$?

Answer 1

Observar que acuñamiento $\Omega$ $\omega := x dx + y dy + z dz$ da $(x^2 + y^2 + z^2) dx \wedge dy \wedge dz$, un múltiple positivo de la forma de volumen. Ahora $TS^2 = \ker \omega\vert_{S^2}$. Ahora vamos a $v, w \in T_uS^2$ y creo que de $u$ como el vector radial en $\mathbb R^3$. Entonces estos tres vectores son linealmente independientes, por lo que el $\Omega \wedge \omega (u,v,w) \ne 0$. Pero $\Omega \wedge \omega(u,v,w)$ es proporcional a $\Omega(v,w)$ desde $v,w \in \ker \omega$.

Answer 2

El uso de las coordenadas esféricas: $$(x,y,z)=(r\sin\phi\cos\theta,r\sin\phi\sin\theta,r\cos\phi),0<\theta<2\pi,0<\phi<\pi.$$ Restringido a $\mathbb{S}^2$,$r=1$, es decir, $$(x,y,z)=(\sin\phi\cos\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\phi),$$ lo que implica que $$dx|_{\mathbb{S}^2}=-\sin\phi\sin\theta\,d\theta+\cos\phi\cos\theta\,d\phi,$$ $$dy|_{\mathbb{S}^2}=\sin\phi\cos\theta\,d\theta+\cos\phi\sin\theta\,d\phi,$$ $$dz|_{\mathbb{S}^2}=-\sin\phi\,d\phi.$$ Esto le da $$dx\wedge dy\big|_{\mathbb{S}^2}=-\sin\phi\cos\phi\,d\theta\wedge d\phi,$$ $$dy\wedge dz\big|_{\mathbb{S}^2}=-\sin^2\phi\cos\theta\,d\theta\wedge d\phi,$$ $$dz\wedge dx\big|_{\mathbb{S}^2}=-\sin^2\phi\sin\theta\,d\theta\wedge d\phi.$$

La combinación de todos estos, tenemos $$\Omega\big|_{\mathbb{S}^2}=(xdy \wedge dz+ydz\wedge dx+zdx \wedge dy)\big|_{\mathbb{S}^2}$$ $$=-\sin^3\phi\cos^2\theta\,d\theta\wedge d\phi-\sin^3\phi\sin^2\theta\,d\theta\wedge d\phi-\sin\phi\cos^2\phi\,d\theta\wedge d\phi$$ $$=-\sin\phi\,d\theta\wedge d\phi.$$ Desde $0<\phi<\pi$,$\Omega\big|_{\mathbb{S}^2}\neq 0$.