¿Por qué un tesselation del avión por un polígono convexo de 7 o más lados que no es posible?

Question

He leído en varios lugares, incluyendo Wikipedia, que una teselación del plano por una sola, convexo, $n-$de lados del polígono no es posible para $n\geq7$. Yo no era capaz de localizar una prueba, o un documento que explica esto. Tal vez es demasiado trivial, pero no soy capaz de averiguarlo yo mismo.

Así que me gustaría pedir ayuda. Donde puedo encontrar una prueba de esto?

También, estoy interesado en la matemática de fondo plano detrás de suelo de baldosas (especialmente periódico), Si usted puede sugerir artículos sobre el tema sería muy útil.

Answer 1

En un tesselation de todo el plano convexo baldosas de al menos tres de las baldosas encontrar en cada esquina de cada baldosa. Por lo tanto, el promedio de los ángulos internos de los azulejos no puede ser de más de 120 grados. La suma de los ángulos internos de un $n$-gon es $(n-2)180$. Si $n>6$, entonces el promedio de $180(n-2)/n=180(1-\frac2n)>180(1-\frac26)=120$.

Answer 2

Hay una manera de cubrir todo el plano convexos heptagons. El que está en el centro es regular, entonces un anillo de siete de ellos son casi regular. El siguiente anillo son ya bastante larga y estrecha, y así sucesivamente.

Desde el punto de vista de su pregunta, el hecho clave es que estos no son todos congruentes. No estoy seguro de que la palabra "teselación" sería correcto aquí.

Esta construcción ha sido conocido por un tiempo muy largo, que está en la página 77 en Matemática Instantáneas por H. Steinhaus, probablemente un montón de otros libros y páginas web. STEINHAUS

Evidentemente también se discute en las páginas 248-249 de GARDNER

Me temo que no he sido capaz de encontrar una imagen en línea. El más cercano que he encontrado en en $\mathbb H^2,$ ver el mosaico de la llamada (7,3) en HIPERBÓLICO e imaginar lo que pasaría si la cosa se estira en forma radial, en coordenadas polares $(r,\theta) \rightarrow \left( \tan \frac{\pi r}{2},\; \theta \right).$ debo admitir que realmente no sé si esto le da una buena aproximación de la cobertura de $\mathbb R^2$ más allá de los primeros tres o cuatro anillos representado. Probablemente no.

Answer 3

Como un suplemento a la Voluntad de Jagy la respuesta, me permito incluir dos figuras. La primera imagen de abajo es de Jay Kappraff de 1990 libro, Conexiones: la geométrica puente entre el arte y la ciencia. La segunda imagen es de un documento de 1983 por Danzer, Grünbaum, Shephard, "¿Cada Tipo de Poliedro de Baldosas de Espacio de Tres?" en Topología Estructural 8 (tal vez la fuente de Kappraff?).
          
          

Answer 4

Si te refieres a un regular polígono, y luego considerar lo que sucede en un vértice. Si $k$ de los polígonos que se juntan en un vértice, a continuación, $2 \pi = k \alpha$ donde $\alpha$ es el ángulo interno del polígono, $\alpha = (n-2)\pi/n$. A continuación,$2n = k(n-2)$. Esta ecuación tiene un número entero positivo soluciones sólo al $n\le6$. De hecho $$k = \frac{2n}{n-2} = 2 - \frac{4}{n-2}$$ y por lo $n-2$ es un divisor de a $4$, es decir, $n-2=1,2,4$, lo que da $n=3,4,6$.