Estaba aprendiendo cómo, si se multiplican dos números complejos cualesquiera juntos, se obtiene un nuevo número complejo. Teniendo esto en cuenta, ¿existen los números complejos que no pueden ser factorizados, o los números complejos primos?
Respuestas
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Al igual que con los números reales, se puede factorizar cualquier número complejo $z$ como $2\times\dfrac z 2$ . Por ejemplo, $31$ se puede factorizar como $2\times\dfrac{31}2$ . Sin embargo, al definir los números primos no se trabaja dentro del conjunto de todos los real números, pero dentro del conjunto $\{1,2,3,\ldots\}$ . (Y cuando Euclides escribió sobre los números primos en el siglo III a.C., no consideró $1$ para ser un número).
Los matemáticos a veces trabajan dentro del conjunto $\mathbb Z= \{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$ y luego $(-3)\times(-2)=6$ no se considera una factorización diferente de $3\times2=6$ porque puedes cambiar $3$ a $-3$ multiplicándolo por una "unidad", en este caso por $-1$ . Hay dos "unidades" en $\mathbb Z$ , a saber $\pm1$ y lo que las califica como "unidades" es que son divisores de $1$ .
Los matemáticos también trabajan con los "enteros de Gauss", que son números complejos de la forma $a+bi$ donde $a,b\in\mathbb Z$ es decir $a,b$ son números enteros ordinarios. Dentro de los enteros de Gauss, los números que no pueden ser factorizados son "primos de Gauss". El número $5$ no es un primo gaussiano porque $5=(2+i)(2-i)$ . También es $(1+2i)(1-2i)$ pero eso no es una factorización diferente porque $1+2i$ se puede llegar desde $2-i$ multiplicándolo por una unidad, es decir $-i$ ya que $(1+2i)(-i) = 2+i$ .
Nij
Puntos
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El concepto de primalidad se extiende a otros sistemas, incluidos los enteros de Gauss, como irreducibilidad. Un elemento irreducible es aquel que no puede escribirse como producto de elementos no unitarios; compárese con la definición de primo.
Esto es similar en principio, pero puede tener consecuencias (inicialmente) inesperadas. Por ejemplo, la descomposición de los números naturales en primos es única, ¡pero la descomposición de algunos de esos mismos números en números complejos irreducibles no lo es!
